Ответ:

Оскільки точка O є серединою відрізка АВ, то середина відрізка має координати, які є середніми значеннями координат кінців відрізка АВ. Тобто, якщо координати точки А позначити як (х, у, z), то:

(х + (-2))/2 = 0,  (у + 4)/2 = 0, (z - 1)/2 = 0

Розв'язуючи цю систему рівнянь, ми отримуємо:

х = 2, у = -4, z = 1

Таким чином, координати точки А дорівнюють (2, -4, 1).

а) Точки N, Р та К є симетричними точками А відносно координатних площин xOy, xOz та yOz відповідно. Щоб знайти координати цих точок, ми можемо відобразити точку А відносно цих площин.

Для точки N, ми маємо відобразити точку А відносно площини xOy, що є площиною z = 0. Таким чином, координати точки N будуть (2, -4, -1).

Для точки Р, ми маємо відобразити точку А відносно площини xOz, що є площиною y = 0. Таким чином, координати точки Р будуть (2, 4, 1).

Для точки К, ми маємо відобразити точку А відносно площини yOz, що є площиною x = 0. Таким чином, координати точки К будуть (-2, -4, 1).

Б) Для знаходження координат точок N, P, K, які є симетричними до точки А відносно координатних площин xOy, xOz та yOz, можна використати формули для відображення точки відносно площини.

1) Симетрична точка до А відносно площини xOy матиме координати (x, y, -z).

Таким чином, симетрична точка до А відносно площини xOy матиме координати:

N(2, 4, -2)

2) Симетрична точка до А відносно площини xOz матиме координати (x, -y, z).

Таким чином, симетрична точка до А відносно площини xOz матиме координати:

P(2, -4, 2)

3) Симетрична точка до А відносно площини yOz матиме координати (-x, y, z).

Таким чином, симетрична точка до А відносно площини yOz матиме координати:

K(-2, -4, 2)\

В)  Для знаходження кута P трикутника NPK можна скористатися формулою для косинуса кута між векторами:

cos(∠PNK) = (PN · PK) / (|PN| · |PK|)

Де PN та PK - вектори, що з'єднують точки P та N з точкою K.

1) Вектор PN можна знайти як різницю координат точок P та N:

PN = P - N = (2, -4, 2) - (2, 4, -2) = (0, -8, 4)

2) Вектор PK можна знайти як різницю координат точок P та K:

PK = P - K = (2, -4, 2) - (-2, -4, 2) = (4, 0, 0)

3) Довжини векторів PN та PK можна знайти за формулою:

|PN| = √(0² + (-8)² + 4²) = √(80) = 4√5

|PK| = √(4² + 0² + 0²) = 4

4) Скалярний добуток векторів PN та PK можна знайти за формулою:

PN · PK = 0·4 + (-8)·0 + 4·0 = 0

Отже, cos(∠PNK) = 0 / (4√5 · 4) = 0

Це означає, що кут ∠PNK дорівнює 90 градусів.

Отже, кут Р трикутника NPK дорівнює 90 градусів.

Verified answer

а) Оскільки точка O є серединою відрізка АВ, то координати точки А можна знайти за формулою: xA = 2xO - xB, yA = 2yO - yB, zA = 2zO - zB. Підставивши значення координат точок O і B у цю формулу, отримаємо xA = 2 * 0 - (-2) = 2, yA = 2 * 0 - 4 = -4, zA = 2 * 1 - (-1) = 3. Таким чином, координати точки А дорівнюють (2; -4; 3).

б) Точка N симетрична точці А відносно площини xOy. Це означає, що координати точок N і А співпадають по осях x і y, але протилежні по осі z. Таким чином, координати точки N дорівнюють (2; -4; -3).

Точка Р симетрична точці А відносно площини xOz. Це означає, що координати точок Р і А співпадають по осях x і z, але протилежні по осі y. Таким чином, координати точки Р дорівнюють (2; 4; 3).

Точка К симетрична точці А відносно площини yOz. Це означає, що координати точок К і А співпадають по осях y і z, але протилежні по осі x. Таким чином, координати точки К дорівнюють (-2; -4; 3).

в) Кут Р трикутника NPK можна знайти за формулою для косинуса кута між векторами: cos(P) = (NP * PK) / (|NP| * |PK|), де NP і PK - вектори сторін трикутника NPK. Вектор NP можна обчислити як різницю координат точок P і N: NP = (xP - xN; yP - yN; zP - zN) = (0; 8; 6). Вектор PK можна обчислити як різницю координат точок K і P: PK = (xK - xP; yK - yP; zK - zP) = (-4; -8; 0). Скалярний добуток векторів NP і PK дорівнює NP * PK = xNP * xPK + yNP * yPK + zNP * zPK = 0 * (-4) + 8 * (-8) + 6 * 0 = -64. Довжина вектора NP дорівнює |NP| = sqrt(xNP² + yNP² + zNP²) = sqrt(0² + 8² + 6²) = sqrt(100) = 10. Довжина вектора PK дорівнює |PK| = sqrt(xPK² + yPK² + zPK²) = sqrt((-4)² + (-8)² + 0²) = sqrt(80) = 4sqrt(5). Підставивши ці значення у формулу для косинуса кута P, отримаємо cos(P) = (-64) / (10 * 4sqrt(5)) = -sqrt(5)/5. Таким чином, кут Р трикутника NPK дорівнює arccos(-sqrt(5)/5).

sqrt  це корінь квадратний