66. Дано: LM=12. LH=2, KT=16. LM||KT. Проведем ОА перпендикулярно LM. Радиус, проведенный перпендикулярно хорде, делит ее пополам. Значит АМ=6, а ВТ=8. Пусть ОВ=х. В прямоугольном треугольнике ОАМ по Пифагору R²=(OA)²+AM² или R²=(2+x)²+6² (1). В прямоугольном треугольнике ОBT по Пифагору R²=(OВ)²+ВТ² или R²=x²+8² (2). Приравняем (1) и (2): 4+4x+х²+36=x²+64 или 4х=24. Отсюда х=6. Тогда R=√(36+64)=10. (Ответ)
67. Дано: EQ||MT, <EQM=30°, OQ=R=8. MQ - биссектриса (<QMT=<EMQ). Решение. MEQT - вписанная трапеция (EQ||MT - дано), следовательно МЕ=QT и <EMT=QTM (свойство). <QMT=30° (накрест лежащий с <EQM при параллельных прямых EQ и MT и секущей MQ). Значит <EMT=60° и <QTM=60°. Следовательно <MQT=90° и МТ - диаметр описанной окружности, то есть ОQ - ее радиус и точка О лежит на середине МТ. Треугольник OQT равносторонний, так как центральный угол OQT опирается на дугу QT, равную 60° (поскольку вписанный угол QMT, опирающийся на эту же дугу, равен 30°). Следовательно, QT=8 и МЕ=8. Треугольник МЕQ равнобедренный, EQ-ME=8. МТ=16, а высота трапеции равна по Пифагору √[QT²-(MT-EQ)/2)²] или √(8²-4²)=4√3. Тогда площадь трапеции Smeqt=(EQ+MT)*h/2 или Smeqt=24*4√3/2 = 48√3. (Ответ).
Answers & Comments
Verified answer
66. Дано: LM=12. LH=2, KT=16. LM||KT.Проведем ОА перпендикулярно LM.
Радиус, проведенный перпендикулярно хорде, делит ее пополам.
Значит АМ=6, а ВТ=8.
Пусть ОВ=х.
В прямоугольном треугольнике ОАМ по Пифагору R²=(OA)²+AM² или R²=(2+x)²+6² (1).
В прямоугольном треугольнике ОBT по Пифагору R²=(OВ)²+ВТ² или R²=x²+8² (2).
Приравняем (1) и (2):
4+4x+х²+36=x²+64 или 4х=24. Отсюда х=6.
Тогда R=√(36+64)=10. (Ответ)
67. Дано: EQ||MT, <EQM=30°, OQ=R=8.
MQ - биссектриса (<QMT=<EMQ).
Решение.
MEQT - вписанная трапеция (EQ||MT - дано), следовательно МЕ=QT и <EMT=QTM (свойство).
<QMT=30° (накрест лежащий с <EQM при параллельных прямых EQ и MT и секущей MQ). Значит <EMT=60° и <QTM=60°.
Следовательно <MQT=90° и МТ - диаметр описанной окружности, то есть ОQ - ее радиус и точка О лежит на середине МТ.
Треугольник OQT равносторонний, так как центральный угол OQT опирается на дугу QT, равную 60° (поскольку вписанный угол QMT, опирающийся на эту же дугу, равен 30°).
Следовательно, QT=8 и МЕ=8.
Треугольник МЕQ равнобедренный, EQ-ME=8.
МТ=16, а высота трапеции равна по Пифагору
√[QT²-(MT-EQ)/2)²] или √(8²-4²)=4√3.
Тогда площадь трапеции Smeqt=(EQ+MT)*h/2 или
Smeqt=24*4√3/2 = 48√3. (Ответ).