Verified answer

Даны вершины треугольника A(0;2), B(0;0), C(6;-8).

Из их анализа видно, что сторона АВ совпадает с осью Оу.

Перпендикуляр к её середине - это горизонтальная линия у = 1.

Для определения точки О пересечения (а она ОДНА) высот достаточно найти пересечение прямой у = 1 с ещё одним перпендикуляром к середине стороны, например ВС.

Находим угловой коэффициент стороны ВС.

Δх (ВС) = 6,

Δу (ВС) = -8.

к(ВС) = Δу/Δх - -8/6 = -4/3.

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен к1 = -1/к.

Середина стороны ВС - точка М = (В + С)/2 = (B(0;0)+C(6;-8))/2 = (3; -4).

Уравнение перпендикуляра МО: у = (3/4)х + b.

Подставим координаты точки М: -4 = (3/4)*3 + b, b = -4 - (9/4) = -25/4.

Получаем уравнение МО: у = (3/4)х - (25/4).

Теперь находим координату "х" точки О, так как координата по "у" известна: это 1.

1 = (3/4)х - (25/4).

х = (1 + (25/4))/(3/4) = (29/4)*(4/3) = 29/3.

Ответ: точка О((29/3); 1).