Ответ:

Это неполное предложение; тире стоит на месте пропущенных подлежащего и сказуемого:

Матушка сидела в гостиной и разливала чай; одной рукой она придерживала чайник, другой — (она придерживала) кран самовара.

Объяснение:

Объяснить постановку тире в предложении:

Матушка сидела в гостиной и разливала чай; одной рукой она придерживала чайник, другой — кран самовара.

Тире стоит вместо пропущенного глагола ПРИДЕРЖИВАЛА и сущ-ного РУКОЙ (эти слова употребляются в предыдущей части сложного предложения, я их подчеркнула).

Сказуемое и дополнение специально пропущены ради речевой экономии, чтобы дважды не повторять одно и то же слово:

Матушка сидела в гостиной и разливала чай; одной рукой она придерживала чайник, другой рукой придерживала кран самовара.

Такие предложения называются неполными.