Ответ:

Правильное написание попугаичим.

Объяснение: образовано от основы попугай + суффикс -ич- (образует прилагательные, характеризующие принадлежность животному: бел/ич/ий, нерп/ич/ий), окончание им (муж.род, Тв.п.).