Verified answer

  Дан правильный тетраэдр SABC с ребром а. Точки М, К, Р - соответственно середины ребер AS, SC, AB. Установить вид многоугольника, который является сечением тетраэдра плоскостью МКР, определить его периметр.

 Точки М и К - середины сторон ∆ ASC. ⇒ МК- его средняя линия и параллельна АС.   Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой  в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. ⇒ МК║(АВС)

  Если плоскость (РМК) проходит через прямую (МК), параллельную другой плоскости (АВС) и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (РТ) этих плоскостей параллельна данной прямой. => РТ|║МК║АС,  Тогда РТ - средняя линия ∆ (АВС), точка Т - середина ВС, а КТ - средняя линия ∆ SBC.

.Противоположные стороны четырехугольника РМКТ - средние линии равных треугольников (т.к. SABC - правильный тетраэдр),   и равны между собой.⇒ РМКТ - параллелограмм, а  т.к. его стороны  равны  половине длин ребер тетраэдра, РМКТ - ромб. Р(РМКТ)=4•а/2=2 (ед. длины).

  Проведем в РМКТ диагональ РК. Опустим из К перпендикуляр КН на плоскость ∆ АВС.  Плоскость ∆ РSC содержит перпендикуляр  к плоскости АВС - высоту SO тетраэдра, следовательно, перпендикулярна АВС (свойство).  КН⊥РС, точка Н - середина ОС. СН=НО=ОР ( т.к. точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС и делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины - свойство). Проекция  диагонали РК четырехугольника МКТР равна РН=2/3 медианы (высоты основания ) РС. . Аналогично доказывается:  дианональ МТ= 2/3 АТ. Диагонали ромба РМКТ равны, ⇒ РМКТ - квадрат.