Одна из сторон треугольника равна 10, а медианы, которые проведены к двум другим сторонам, равны 9 и 12. Найти площадь треугольника. Created by krutojiv. geometriya-ru

решение смотри во вложении...

Одна из сторон треугольника равна 10, а медианы, которые проведены к двум другим...

Чертеж во вложении.

Проведем третью медиану ВМ. Все три медианы пересекаются в одной точке О и каждая делится этой точкой в отношении 2:1:

АО:ОК=2:1, ВО:ОМ=2:1, СО:ОЕ=2:1.

Отсюда ОС=2/3СЕ=2/3*12=8, ОА=2/3АК=2/3*9=6.

Рассмотрим ∆АОС. У него ОА=6, ОС=8, АС=10.

По обратной теореме Пифагра выполняется равенство АС²=АО²+ОС² (10²=6²+8²). Следовательно, ∆АОС - прямоугольный с ∠АОС=90°.

Три медианы, пересекаясь, делят треугольник ∆АВС на 6 треугольников с равными площадями. Тогда

$S_{ABC}=6S_{AOM}=3(S_{AOM}+S_{COM})=3S_{AOC} \\\ S_{AOC}=\frac{1}{2}AO*OC=\frac{1}{2}*6*8=24 \\\ S_{ABC}=3*24=72$

Ответ: 72