Однородный стержень массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень приводят в положение неустойчивого равновесия и отпускают без толчка. Определить максимальное значение силы давления на ось.
Answers & Comments
Итак. Нам требуется найти наибольшее значение силы давления стержня на ось . По третьему закону Ньютона эта сила равна и противоположна силе давления оси на стержень в любой момент времени, а значит, мы, с таким же успехом, можем искать именно силу давления оси на стержень . Что мы и будем делать в решении.
Основные векторные построения и обозначения представлены на [рисунке 1]
При прокручивании на оси, стержень приобретает угловую скорость , причём эта скорость нарастает, а значит, имеется угловое ускорение , у которого есть простая кинематическая связь c тангенциальным ускорением центра масс стержня, расположенного в его середине. Здесь – длина стержня. Помимо тангенциального ускорения у стержня есть и нормальное ускорение , направленное вдоль него к оси. Это нормальное ускорение создаётся центростремительной силой, необходимой для удержания стержня, т.е. суммой продольных к стержню составляющих сил тяжести и давления оси на стержень .
Как легко понять из рисунка:
;
;
: : : формула [1]
Теперь найдём ускорение , а для этого найдём его поперечную и продольную к стержню составляющие и :
: : : формула [2]
;
: : : формула [3]
Теперь, как мы видим, нам необходимо найти угловую скорость. Найдём её из закона сохранения энергии.
Потенциальная энергия, при прокручивании стержня на угол убывает на . Кинетическую энергию в данном случае вычислить не так просто, поскольку каждый элемент стержня движется со своей скоростью, зависящей от того, насколько этот элемент удалён от центра вращения, так что близкие к оси его элементы имеют низкую скорость и малую кинетическую энергию, а удалённые – большую скорость и кинетическую энергию.
Элемент, отмеченный на рисунке, как имеет массу и скорость , значит, кинетическая энергия этого элемента: . Теперь для подсчёта всей кинетической энергии проинтегрируем эту элементарную кинетическую энергию по всей длине стержня:
;
По закону сохранения энергии, убыль потенциальной энергии должна быть равна кинетической:
;
;
;
: : : формула [4]
;
Возьмём производную от этого уравнения:
;
;
;
: : : формула [5]
Подставляя выражения [5] и [4] в формулы [2] и [3] получим
;
;
: : : формула [6]
: : : формула [7]
Теперь осталась самая главная часть задачи. Поиск максимального значения силы давления оси на стержень ;
К этому вопросу можно подойти на трёх уровнях сложности и, соответственно – достоверности.
Далее везде в основной неподвижной (лабораторной) системе отсчёта будем считать, что ось Ox направлена направо, а ось Oy направлена вниз, в ту же сторону, что и ускорение.
(продолжение решения на скришотах; формат сайта не позволил выложить более 5000 символов)