Однородный стержень массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, ...

August 2022 1 10 Report

Однородный стержень массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стержень приводят в положение неустойчивого равновесия и отпускают без толчка. Определить максимальное значение силы давления на ось.

Answers & Comments

gartenzie В задаче не указано, можно ли пользоваться таким понятием, как «момент инерции», поэтому мы обойдём этот вопрос при помощи элементарного степенного интегрирования.

Итак. Нам требуется найти наибольшее значение силы давления стержня на ось $\overline{P}$ . По третьему закону Ньютона эта сила равна и противоположна силе давления оси на стержень в любой момент времени, а значит, мы, с таким же успехом, можем искать именно силу давления оси на стержень $\overline{T}$ . Что мы и будем делать в решении.

Основные векторные построения и обозначения представлены на [рисунке 1]

При прокручивании на оси, стержень приобретает угловую скорость $\omega$ , причём эта скорость нарастает, а значит, имеется угловое ускорение $\beta$ , у которого есть простая кинематическая связь c тангенциальным ускорением $a_\tau = \frac{l}{2} \beta$ центра масс стержня, расположенного в его середине. Здесь $l$ – длина стержня. Помимо тангенциального ускорения у стержня есть и нормальное ускорение $\overline{a}_n$ , направленное вдоль него к оси. Это нормальное ускорение создаётся центростремительной силой, необходимой для удержания стержня, т.е. суммой продольных к стержню составляющих сил тяжести $\overline{mg}$ и давления оси на стержень $\overline{T}$ .

Как легко понять из рисунка:

$\overline{a} = \frac{ \overline{mg} + \overline{T} }{m}$ ;

$m \overline{a} = \overline{mg} + \overline{T}$ ;

$\overline{T} = -\overline{mg} + m \overline{a}$ : : : формула [1]

Теперь найдём ускорение $\overline{a}$ , а для этого найдём его поперечную и продольную к стержню составляющие $\overline{a}_\tau$ и $\overline{a}_n$ :

$a_\tau = \frac{l}{2} \beta$ : : : формула [2]

$a_\tau = \frac{l}{2} \omega'$ ;

$a_n = \frac{l}{2} \omega^2$ : : : формула [3]

Теперь, как мы видим, нам необходимо найти угловую скорость. Найдём её из закона сохранения энергии.

Потенциальная энергия, при прокручивании стержня на угол $\phi$ убывает на $mg \Delta h = mg \frac{l}{2} ( 1 - \cos{ \phi } )$ . Кинетическую энергию в данном случае вычислить не так просто, поскольку каждый элемент стержня движется со своей скоростью, зависящей от того, насколько этот элемент удалён от центра вращения, так что близкие к оси его элементы имеют низкую скорость и малую кинетическую энергию, а удалённые – большую скорость и кинетическую энергию.

Элемент, отмеченный на рисунке, как $\Delta r$ имеет массу $\Delta m = \frac{ \Delta r }{l} m$ и скорость $v_r = r \omega$ , значит, кинетическая энергия этого элемента: $\Delta W = \frac{ \Delta m v_r^2 }{2} = \frac{1}{2} \frac{ \Delta r }{l} m ( r \omega )^2 = \frac{ m \omega^2 }{2l} r^2 \Delta r$ . Теперь для подсчёта всей кинетической энергии проинтегрируем эту элементарную кинетическую энергию по всей длине стержня:

$W = \int\limits^m \, dW = \int\limits^l_0 ( \frac{ m \omega^2 }{2l} r^2 ) \, dr = \frac{ m \omega^2 }{2l} \int\limits^l_0 r^2 \, dr = \frac{ m \omega^2 }{2l} \frac{r^3}{3} |_0^l = \frac{ m \omega^2 }{2l} \frac{l^3}{3} = \frac{ m l^2 \omega^2 }{6}$ ;

По закону сохранения энергии, убыль потенциальной энергии должна быть равна кинетической:

$mg \Delta h = W$ ;

$mg \frac{l}{2} ( 1 - \cos{ \phi } ) = \frac{ m l^2 \omega^2 }{6}$ ;

$g ( 1 - \cos{ \phi } ) = \frac{ l \omega^2 }{3}$ ;

$l \omega^2 = 3g ( 1 - \cos{ \phi } )$ : : : формула [4]

$\frac{l}{3g} \omega^2 = 1 - \cos{ \phi }$ ;

Возьмём производную от этого уравнения:

$\frac{l}{3g} * 2 \omega \omega' = \sin{ \phi } \phi'$ ;

$\frac{2l}{3g} \omega \beta = \sin{ \phi } \omega$ ;

$\frac{2l}{3g} \beta = \sin{ \phi }$ ;

$\beta = \frac{3g}{2l} \sin{ \phi }$ : : : формула [5]

Подставляя выражения [5] и [4] в формулы [2] и [3] получим

$a_\tau = \frac{l}{2} \frac{3g}{2l} \sin{ \phi }$ ;

$a_n = \frac{1}{2} * 3g ( 1 - \cos{ \phi } )$ ;

$a_\tau = \frac{3}{4} g \sin{ \phi }$ : : : формула [6]

$a_n = \frac{3}{2} g ( 1 - \cos{ \phi } )$ : : : формула [7]

Теперь осталась самая главная часть задачи. Поиск максимального значения силы давления оси на стержень $\overline{T}$ ;

К этому вопросу можно подойти на трёх уровнях сложности и, соответственно – достоверности.

Далее везде в основной неподвижной (лабораторной) системе отсчёта будем считать, что ось Ox направлена направо, а ось Oy направлена вниз, в ту же сторону, что и ускорение.

(продолжение решения на скришотах; формат сайта не позволил выложить более 5000 символов)

2 votes Thanks 0

Answers & Comments

100 35 353

pomogite s cepochkoj reakcii

napisat reakcii polucheniya propilbenzola butilbenzola po reakcii vyurca fittiga

mled0eba688a53129d0e8420cfbef69750 17610

22 dihlorpentan podvergnite gidrolizu sreda shelochnaya na poluchennoe soedineni

s28b72dd03dda663974a1f9b6a036ac553 67474

s pod uglom 30 gradusov k gorizontu najti vremya kotoroe kamen budet v dvizheni

mozhno li otpustit iz apteki lekarstvennuyu formu izgotovlennuyu po propisi rp

v koordinatnoj ploskosti xy zadana potencialnaya sila f xu najti rabotu eto

pomogite reshit i pri vozmozhnosti obyasnit

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social