Впустую здесь наречие, а если бы писалось раздельно, то был бы предлог с прилагательным.

Она спорила с родителями ( Как ? ) впустую

"Впустую" это наречие.

Если бы писалось так:

Она спорила с родителями ( В какую? ) в пустую

, то "в пустую" это был бы предлог с прилагательным.