Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

х0 =2 будет максимумом, если производная f'(x)

1) в точке  x0  равна 0 f'(х0) =0,

2) при х < х0: f'(х) > 0, при х > х0:   f'(х) < 0

определим f'(х)

f'(х) = ax² -6ax +a²

подставим вместо х значение х0=2,

и решим уравнение относительно а

а*(2)² -6а*2 +а² = 0

а² -8а = 0

а(а-8) = 0

а1 = 0, а2=8

при этих значениях а график заданной функции будет иметь в точке

х0=2 екстремум.

однако при а = 0 функция вырождается в f(x)=0, которая не имеет максимума в х0=2

Проверим, будет ли точка х0=2 максимумом при а=8

f(x) примет вид

f'(х) = 8*x² -6*8*x +8*8

f'(х) = 8*(x² -6*x +8)

интервалы постоянности знака этой функции определены корнями

x² -6*x +8 = 0

x1=2, x2 =4  

x = 2 и 4. возьмем точки из интервалов (-∞; 2) и (2; 4) и определим знаки f'(x)

f'(4) = 8*(1² -6*1 +8) = 8*(3) = 24 > 0 - функция растет

f'(4) = 8*(3² -6*3 +8) = 8*(-1) = -8 < 0 - функция убывает

следовательно x = 2 - точка максимума f(x)