Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD и боковыми сторонами АВ и CD и средней линией МК.

Периметр трапеции равен

Р = АВ + CD + ВС + AD

или с учетом свойства четырёхугольника, описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника ( в том числе и трапеции), описанного около окружности, равны.

То есть

АВ + CD = ВС + AD

Тогда периметр трапеции равен

Р = 2( ВС + AD)

А средняя линия равна полусумме оснований, или

ВС + AD = 2 МК

Тогда периметр

Р = 2 · 2МК

Р = 4 МК

Что и требовалось доказать.