рассмотрим треугольники АОК и ОРМ. в них:

1)углы АОК и РОМ равны как вертикальные;

2)АО=ОМ, ведь точка О - середина АМ по условию;

3)PO=ОМ также по условию

значит, треугольник АОК равен треугольнику ОРМ по двум сторонам и углу между ними. в равных треугольниках напротив соответственно равных углов лежат соответственно равные стороны, поэтому РМ=КА, ч.т.д.