Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника.
Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Пусть
K,
L,
Mи
Nсередины сторон соответственно
AB,
BC,
CDи
ADвыпуклого четырёхугольника
ABCD,
LN = 2,
KM = 7.
KLОтрезки
и
MN —средние линии треугольников
ABCи
ADC,поэтому
KL ‖ AC,
KL = 1 2 AC,
MN ‖ AC,
MN = 1 2 AC,значит, четырёхугольник
KLMN —параллелограмм, а так как его диагонали
KMи
LNперпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е.
SKLMN = 1 2 · 2 · 7 = 7.
KL —Поскольку
средняя линия треугольника
ABC,площадь треугольника
KBLравна четверти площади треугольника
ABC.Аналогично, площадь треугольника
MDNравна четверти площади треугольника
ADC, поэтому
S△KBL + S△MDN = 1 4 S△ABC + 1 4 S△ADC = 1 4 (S△ABC + S△ADC) = 1 4 SABCD.
S△KAN + S△MCL = 1 4 SABCD.Аналогично,
Следовательно,
SKLMN = SABCD − S△KBL − S△MDN − S△KAN − S△MCL =
= SABCD − 1 4 SABCD − 1 4 SABCD = SABCD − 1 2 SABCD = 1 2 SABCD,
SABCD = 2SKLMN = 2 · 7 = 14.