Ответ:

6π

Пошаговое объяснение:

S=0.5∫(p(φ))²dφ- здесь определенный интеграл от ∝ до β.

т.к.  4*sin²(φ)≥0, то пределами интегрирования будут 0 и 2π

я их не под и над интегралом, но подразумеваю, когда буду использовать формулу Ньютона - Лейбница.

=0.5∫(4sin²φ)²dφ=16*0.5∫((1-cos2(φ))²/4)dφ=2∫(1-2cos(2φ)+cos²(2φ))dφ=

2∫(1-2cos(2φ)+(1+cos(4φ))/2)dφ=2*(1.5φ-2sin(2φ)+(sin(4φ))/8);

подставим верхний предел интегрирования φ=2πи от этого результата отнимем значение первообразной в нижнем пределе φ=0;

2*(1.5*2π-2sin(2*2π)+(sin(4*2π))/8)-2*(1.5*0-2sin(2*0)+(sin(4*0))/8)=6π-

2sin(4π)+(sin(8π))/8)-2*(1.5*0-2sin(0)+(sin(0))/8)=6π-0-0-0-0-0=6π

Verified answer

Ответ:

[tex]\boldsymbol {S = 6\pi }[/tex] кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Сначала нарисуем график.

Получим вот такую красоту как в приложении.

Ищем площадь зеленой фигуры.

По формуле площади криволинейного сектора

для системы в полярных координатах

[tex]\displaystyle S=\frac{1}{2} \int\limits^a_b {\rho^2(\varphi)} \, d\phi[/tex]

Вычислим нашу площадь

[tex]\displaystyle S=\frac{1}{2} \int\limits^{2\pi }_0 {\bigg(4sin^2(\varphi)\bigg)^2} \, d\phi=8 \int\limits^{2\pi }_0 {sin^4(\varphi)} \, d\phi=8 \int\limits^{2\pi }_0 {\bigg( \frac{1-cos(2\varphi)}{2} \bigg)^2} \, d\phi=[/tex]

[tex]\displaystyle =2\int\limits^{2\pi }_0 {\bigg(1-2cos(2\varphi)+cos^2(2\vatphi)\bigg)} \, d\varphi=2 \int\limits^{2\pi }_0 {\bigg(1-2cos(2\varphi)+\frac{1+cos(4\varphi)}{2} \bigg)} \, d\varphi=[/tex]

[tex]\displaystyle =2\int\limits^{2\pi }_0 {\bigg(\frac{3}{2} -2cos(2\varphi)+\frac{cos(4\varphi)}{2} \bigg)} \, d\varphi= 2\bigg(\frac{3}{2} \varphi-sin(2\varphi)+\frac{sin(4\varphi)}{8} \bigg)\bigg|_0^{2\pi }=\boldsymbol {6\pi }[/tex]