Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями: x^2 + y^2 ...

August 2022 1 16 Report

Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями:
x^2 + y^2 = 2x, x^2 + y^2 = 4x, y = x, y = 0 .

Answers & Comments

JhonnyM

Verified answer

1) Строим фигуру.
$x^{2}+y^2=2x$
$x^2-2x+1+y^2=1$
$(x-1)^2+(y-0)^2=1$
Первое уравнение даёт нам окружность с центром в точке [1,0] и единичным радиусом. Второе даёт нам вторую окружность, по аналогии с первым. Третья функция строится поточечно. Взяв любое значение x, получаем y и проводим прямую. Четвёртая прямая при любом x, даёт y=0.
Площадь фигуры рассчитывается по формуле $S= \int\limits \int\limits{dx} \, dy$
При переходе к полярным координатам не забываем dxdy=rdrdφ
x=rcosφ
y=rsinφ
Берём первое уравнение $x^2+y^2-2x=0$ и осуществляем преобразование (rcosφ)²+(rsinφ)²-2(rcosφ)=0
Вспоминаем тригонометрическое тождество cosφ²+sinφ²=1 и применяем:
r²-2rcosφ=0
r-2cosφ=0
Ровно по такой же схеме преобразуем x²+y²=4x в r=4cosφ
Прямая y=x даёт нам изменение угла от 0 до π/4 в полярной системе координат, r же меняется от малой окружности до большей.
$\int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {} \, d \phi \int\limits^{4cos \phi}_{2cos\phi} {r} \, dr = \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {6cos^{2}\phi } \, d \phi =6 \int\limits^ \frac{ \pi }{4}_0 {( \frac{1}{2}cos(2\phi)+ \frac{1}{2} )} \, d \phi= \frac{3(2+ \pi )}{4}$

2 votes Thanks 2

Answers & Comments

Verified answer

2x+3...

perevedite predlozhenie infinitiv to work in this field of science was the task

tema infinitiv perevedite predlozheniya 1 to master this speciality is very impor

1 if i hadnt picked up martins wallet he would be in dire straits now 2 if y

uslovnye predlozheniya opredelite tip predlozheniya 1 if i hadnt picked up martin

vstavte slova either neither eitheror neither nor perevedite predlozheniya

zadanie paraphrase using the subjective infinitive construction primer it is

raskrojte skobki ispolzuya objective infinitive construction primer i want yo

x^2-x...

najdite gerundij opredelite ego formu i funkciyu 1 he never agreed to their go

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social