Verified answer

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

Трапеция - четырехугольник, и, поскольку в нее вписана окружность, сумма оснований равна сумме ее боковых сторон.

В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на два отрезка, из которых больший равен полусумме оснований, а меньший - их полуразности.

Периметр трапеции АВСД равен р
Следовательно,
сумма боковых сторон равна р:2,
сумма оснований равна р:2.
Опустим высоту ВН.

Отрезок НД большего основания равен полусумме оснований и равен (р:2):2=р:4
Боковая сторона АВ равна половине полупериметра трапеции и равна
(р:2):2=р:4
Из прямоугольного треугольника АВН найдем высоту ВН:
ВН=АВ·sin (α)=(р:4)·sin (α)=(р·sin α):4

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.

S АВСД=ВН·НД=(р:4)(р·sin (α):4)=(р²·sin α):16 ( единиц площади)

Площадь круга, вписанного в эту трапецию, находим по формуле

S=πr²

Высота трапеции - диаметр этого круга.

Соответственно, его радиус - половина высоты трапеции,
r= ВН:2=(р·sin α):8
а  площадь
S=  π·{р·sinα }²:64 ( единиц площади).