Натуральные числа условно поделим на три группы:

1) остаток от деления на 3 равен нулю

2) равен 1

3) равен 2

Перечислим всевозможные комбинации троек чисел из указанных групп, сумма которых заведомо кратна 3:

1-1-1, 2-2-2, 3-3-3, 1-2-3 (1,2 и 3 обозначают группы)

Таким образом, нужно найти количество чисел n, среди которых гарантированно получим одну из этих четырёх комбинаций.

n = 3 и n = 4 очевидно недостаточно.

n = 5. Докажем, что в данном случае искомая тройка найдётся. Цифрами буду обозначать группы, к которым принадлежат числа.

Если в пяти числах нашлась комбинация групп 1-1-1 или 2-2-2 или 3-3-3, то тройка нашлась.

Предположим, что таких комбинаций нет. Но тогда это означает, что в пятёрке чисел встретятся числа из всех трёх групп. Такая тройка нам также подходит.

Ответ: 5 раз