Ответ:

[tex]\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{e}_{1} {(x + 1) \ln x} \, dx = \dfrac{e^{2} + 5}{4} }}[/tex]

Примечание:

Интегрирование по частям:

[tex]\boxed{\displaystyle \int u \ dv = uv - \int v \ du}[/tex]

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int x^{n} \, dx= \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq - 1; x > 0 }[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{e}_{1} {(x + 1) \ln x} \, dx = \dfrac{e^{2} + 5}{4}[/tex]

Рассмотрим неопределенный интеграл вида:

[tex]\displaystyle \int {(x + 1) \ln x} \, dx \ - \ (*)[/tex]

Применим к интегралу [tex](*)[/tex] метод интегрирования по частям:

--------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]u = \ln x; du = d(\ln x ) \ dx = \dfrac{dx}{x}[/tex]

[tex]dv = (x + 1)\ dx; \displaystyle \int 1 \cdot dv = \int (x + 1)\ dx \Longrightarrow \boxed{v = \frac{x^{2}}{2} + x }[/tex]

---------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \int {(x + 1) \ln x} \, dx = \ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \int \bigg( \dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg)\cdot \dfrac{dx}{x} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \int x \bigg( \dfrac{x}{2} + 1\bigg)\cdot \dfrac{dx}{x} =\ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \int \bigg( \dfrac{x}{2} + 1\bigg)\ dx=[/tex]

[tex]= \ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \bigg (\dfrac{x^{2} }{4}+x \bigg) + C = x\ln x \bigg (\dfrac{x}{2} + 1 \bigg) - x \bigg (\dfrac{x }{4}+1 \bigg) + C =[/tex]

[tex]= x \bigg( \ln x \bigg (\dfrac{x}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{x }{4}+1 \bigg) \bigg) + C[/tex]

Вычислим определенный интеграл:

[tex]\displaystyle \int\limits^{e}_{1} {(x + 1) \ln x} \, dx = x \bigg( \ln x \bigg (\dfrac{x}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{x }{4}+1 \bigg) \bigg) \bigg| _1^e =[/tex]

[tex]= e \bigg( \ln e \bigg (\dfrac{e}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{e}{4}+1 \bigg) \bigg) - \bigg( 1 \bigg( \ln 1 \bigg (\dfrac{1}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{1 }{4}+1 \bigg) \bigg) \bigg) =[/tex]

[tex]= \dfrac{e^{2} + 5}{4}[/tex]