№ 1.

 AP⊥(ABC)(по условию)⇒BC⊥AP

 BC⊥PD(по условию)

 AP∩PD=P

BC⊥ двум пересекающимся прямым⇒BC⊥(PDA)⇒BC⊥любой прямой, лежащей в плоскости PDA⇒BC⊥AD,ч.т.д.

№ 2.

1)Найдём радиус описанной окружности треуг.ABC по т.Пифагора:

AH=√PA²-PH²

AH=√10²-8²=6

При этом заметим, что AH=BH=CH(как радиусы описанной окр.)

2)AF-медиана, биссектриса, высота в правильном треугольнике.

(по св-ву медианы)

Тогда AF=9.

3)HL-перпендикуляр к стороне AB(как радиус вписанной окружности)

При этом заметим, что HL=HK=HF(PH-общая сторона, а PL=PK=PF(по условию))

HL=HF=1/3AF(по св-ву медиан)⇒HL=3

4)по т.Пифагора:

AL=√AH²-HL²=√36-9=√27=3√3

5)2AL=AB=BC=AC=6√3

6)S=AF*BC*1/2=6√3*1/2*9=27√3