Ответ:

Примечание:

Пусть вершины голубого треугольника это точки K, T, F как показано на рисунке.

По условию:

Так как на рисунке показаны равны отрезки, то соответственно по уже ранние введенным обозначениям, пусть:

AK = KT = a

BF = FK = b

CT = TF = c

Пусть углы имею соответствующие обозначения:

∠KTF = α

∠FKT = β

∠TFK = γ

Лемма: Синусы смежных углов равны

На рисунке (лемма) углы ∠AOC и ∠BOC - смежные углы.

Пусть ∠AOC = α и ∠BOC = β.

По свойству смежных углов: α + β = 180° ⇒ β = 180° - α

По формуле приведения:

Ч.Т.Д

Объяснение:

Дано: AK = KT = a, BF = FK = b, CT = TF = c, ∠KTF = α, ∠FKT = β,

∠TFK = γ,

Найти:

Решение:

Пары углов: ∠BKT и ∠BKA, ∠CFK и ∠CFB, ∠ATF и ∠ATC - пары смежных углов, тогда по лемме:

sin ∠BKT = sin ∠BKA, sin ∠CFK = sin ∠CFB, sin ∠ATF = sin ∠ATC

Площадь треугольника можно посчитать как полупроизведение двух сторон на синус угла между этими сторонами.

Выразим площадь треугольника ΔKTF через разные стороны и углы и составим систему уравнений:

По основному свойству отрезка:

AT = AK + KT = a + a = 2a.

BK = BF + FK = b + b = 2b.

CF = CT + TF = c + c = 2c.

Распишем площади треугольников ΔATC, ΔBFC, ΔABK:

Треугольник ΔABC состоит из треугольников:

ΔATC, ΔBFC, ΔAKB, ΔKTF.

.