Задача 23 из теста 2 для ГИА по математике.

Площадь треугольника ABC равна 140. На стороне AC взята такая точка М, что AM:CM=3:2.Биссектриса AL пересекает прямую BM в точке K Найдите площадь четырехугольника MCLK, если известно, что MK:BK=1:3

Решение:

Известно, что на стороне AC взята точка M так, что AM:CM=3:2. Таким образом, Выв видите, что сторона AC содержит 3+2=5 частей. В соответствии с этим площадь треугольника ABC,  равная 140, делится прямой BM на два треугольника: ABM с площадью 84 и MBC с площадью 56.

     Здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. Тогда площадь треугольника ABM составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника MCB составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    Теперь вспомним, что бессектриса AL угла A треугольника ABM делит противоположную сторону BM в точке K и сам треугольник треугольник ABM на 4 части в отношении MK:BK=1:3. В этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника ABM, то есть AM : AB как MK : BK. Иначе говоря, AM составляет 1 часть и BK составляет 3 части. 

     Аналогично названная биссектрисса AL делит сторону BC и сам треугольник ABC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. В силу того, что отрезок

Известно, что на стороне AC взята точка M так, что AM:CM=3:2. Таким образом, Выв видите, что сторона AC содержит 3+2=5 частей. В соответствии с этим площадь треугольника ABC,  равная 140, делится прямой BM на два треугольника: ABM с площадью 84 и MBC с площадью 56.

     Здесь 140 квадратных единиц предварительно делим на 5 частей и получаем, что на одну часть приходится 28 квадратных единиц. Тогда площадь треугольника ABM составит 3 части, то есть 28*3=84 кв. единицы, и площадь треугольника MCB составит остальные 56 квадратных единиц (28*2=56).

    Теперь вспомним, что бессектриса AL угла A треугольника ABM делит противоположную сторону BM в точке K и сам треугольник треугольник ABM на 4 части в отношении MK:BK=1:3. В этом же отношении находятся и прилежащие стороны треугольника ABM, то есть AM : AB как MK : BK. Иначе говоря, AM составляет 1 часть и BK составляет 3 части. 

     Аналогично названная биссектрисса AL делит сторону BC и сам треугольник ABC на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Нам нужно вычислить отношение сторон последнего треугольника друг к другу. В силу того, что отрезок AM составлял по условию задачи 3 части, а теперь составляет одну часть отрезок AB теперь составляет 9 частей, а отрезок MC содержит 2 части, как дано по условию задачи. Тогда сторона AC составляет 5 частей и всего AB+AC = 3 + 2 = 14 частей. Легко подсчитать, что на 1 часть приходится 140 : 14 = 10 квадратных единиц площади. Поэтому площадь треугольника ALC будет равна 10*5=50 кв. единиц, и площадь треукгольника ALB будет равна 90 кв. ед. Площадь треугольника AKM равна 84 : 4 = 21 (кв. ед.) Тогда искомая площадь четырехугольника MCLK равна 50 - 21 = 29 (кв. единиц). Задача решена полностью!!!