Задача: Пусть \( P(n) \) – это полином степени \( n \) с рациональными коэффициентами. Докажите или опровергните, что существует такая последовательность рациональных полиномов \( \{ P_n(x) \} \), что:
1. \( P_1(x) = x \).
2. \( P_{n+1}(x) = P_n(x + P_n(x)) \) для всех \( n \geq 1 \).
3. \( P_n(0) \) является рациональным числом для всех \( n \).
4. \( \lim_{n \to \infty} P_n(0) \) существует и является трансцендентным числом.
1. \( P_1(x) = x \).
2. \( P_{n+1}(x) = P_n(x + P_n(x)) \) для всех \( n \geq 1 \).
3. \( P_n(0) \) является рациональным числом для всех \( n \).
4. \( \lim_{n \to \infty} P_n(0) \) существует и является трансцендентным числом.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Ответ:
Докажем, что такая последовательность рациональных полиномов с заданными свойствами не существует.
Предположим, что такая последовательность полиномов {Pn(x)}{Pn(x)} существует. Рассмотрим полином P1(x)=xP1(x)=x. Тогда, в согласии с условием (2), мы имеем:
P2(x)=P1(x+P1(x))=P1(x+x)=P1(2x)=2x.P2(x)=P1(x+P1(x))=P1(x+x)=P1(2x)=2x.
Затем, применив снова условие (2), получаем:
P3(x)=P2(x+P2(x))=P2(x+2x)=P2(3x)=3x.P3(x)=P2(x+P2(x))=P2(x+2x)=P2(3x)=3x.
Таким образом, для всех натуральных nn, получаем Pn(x)=nxPn(x)=nx.
Теперь рассмотрим значения полиномов Pn(0)Pn(0):
Pn(0)=n⋅0=0.Pn(0)=n⋅0=0.
Согласно условию (3), все значения Pn(0)Pn(0) должны быть рациональными числами. Однако мы видим, что Pn(0)=0Pn(0)=0 для всех nn, и тем самым получаем противоречие с условием (4) о существовании трансцендентного предела.
Таким образом, мы пришли к противоречию, и предположение о существовании такой последовательности полиномов {Pn(x)}{Pn(x)} неверно. Такая последовательность не существует.
Вы верно выразили, что \( P_n(0) = 0 \) для всех \( n \). Однако это не противоречит условию (3), так как 0 является рациональным числом. Противоречие действительно возникает с условием (4), так как \( \lim_{n \to \infty} P_n(0) \) действительно равен 0, который не является трансцендентным числом.