Ответ:

По-кошачьи он пробрался в свою комнату.

Пробрался как? - наречие

По новому распоряжению рабочий день начинается на полчаса раньше.

По какому распоряжению? - по новому - прилагательное

Внезапно он по-настоящему заплакал.

Заплакал как? - по-настоящему - наречие

Машина едет по новому шоссе.

По какому шоссе? - по новому - прилагательное