MreFПочему нельзя делить на ноль?«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьниковзаучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают,что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?»А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание,умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признаютполноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и ихсвойства включаются в само определение понятия числа. Все остальныедействия строятся тем или иным образом из этих двух.Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьникответит наэто просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три изних и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на этузадачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение.Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4можно понимать как результат разделения восьми предметов по четыремравным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записиуравнения 4 · x = 8.Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-токроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения.(Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего необозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратковыражают, говоря, что на ноль делить нельзя.Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.Но если подходит любое число, то у нас нет никаких основанийостановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можемсказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, томы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, чтона ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бываютслучаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдатьпредпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почемутак получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? Внекотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящаяматематика. Ответить на него можно только познакомившись с формальнымиматематическими определениями числовых множеств и операций над ними. Этоне так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях поматематике в университете вас в первую очередь будут учить именноэтому.
Answers & Comments