Ответ:

По правилу Н и НН в отглагольных прилагательных и причастиях. Конкретно слово радушный, пишется с одной н, потому что образован от глагола несовершенного вида - радушно, также не имеет приставки и не имеет суффиксов -ОВА-, -ЕВА-, -ИРОВА-.