{ y^2 - (x^2 - 4 + √(2|x| - x^2))*y + (x^2 - 4)*√(2|x| - x^2) = 0

{ y = 2x + a

Область определения х определяется только корнем:

2|x| - x^2 ≥ 0

1) x < 0; тогда |x| = -x

-x^2 - 2x ≥ 0

-x(x+2) ≥ 0

x € [-2; 0)

2) x ≥ 0; тогда |x| = x

-x^2 + 2x ≥ 0

-x(x-2) ≥ 0

x € [0; 2]

Область определения: x € [-2; 2]

Обратим внимание на 1 уравнение системы. По теореме Виета:

{ y1 + y2 = -b/a = (x^2 - 4) + √(2|x| - x^2)

{ y1*y2 = c/a = (x^2 - 4)*√(2|x| - x^2)

Отсюда ясно, что:

y1 = x^2 - 4; y2 = √(2|x| - x^2)

Но из 2 уравнения:

y = 2x + a

Получаем систему:

{ x^2 - 4 = 2x + a

{ √(2|x| - x^2) = 2x + a

Нам нужно, чтобы эта система имела нечётное число корней.

Это возможно, только в двух случаях:

1) если оба уравнения имеют по 2 корня, но один из корней - общий.

2) если оба уравнения имеют 1 корень, и при том общий.

Рассмотрим оба этих случая.

Первый случай. Уравнения имеют по 2 корня, и один из них общий.

{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0

{ 2|x| - x^2 = (2x + a)^2 = 4x^2 + 4ax + a^2

Второе уравнение распадается на два:

А) x < 0; |x| = -x

{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0

{ 5x^2 + (4a+2)x + a^2 = 0

Б) x ≥ 0; |x| = x

{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0

{ 5x^2 + (4a-2)x + a^2 = 0

Решаем случай А. Дискриминанты должны быть больше 0.

{ D = (-2)^2 - 4(-a-4) = 4 + 4a + 16 = 4a + 20 > 0

{ D = (4a+2)^2 - 4*5a^2 = 16a^2 + 16a + 4 - 20a^2 = -4a^2 + 16a + 4 > 0

Решаем эти неравенства:

{ a > -5

{ -a^2 + 4a + 1 > 0

D = 16 - 4(-1)*1 = 20 = (2√5)^2

a1 = (-4 - 2√5)/(-2) = 2 + √5 ≈ 4,236

a2 = (-4 + 2√5)/(-2) = 2 - √5 ≈ -0,764

a € (2-√5; 2+√5)

При таких а оба уравнения будут иметь по 2 корня.

{ x1 = 1 - √(a+5); x2 = 1 + √(a+5)

{ x1 = (-2a-1 - √(-a^2+4a+1))/5; x2 = (-2a-1 + √(-a^2+4a+1))/5

Система будет иметь одно решение, если один корень окажется общим.

1) 1 - √(a+5) = (-2a-1 - √(-a^2+4a+1))/5

5 - 5√(a+5) = -2a-1 -√(-a^2+4a+1)

√(-a^2+4a+1) = 5√(a+5) - (2a+6)

-a^2 + 4a + 1 = 25(a+5) - 10(2a+6)√(a+5) + (2a+6)^2

Решаем это уравнение.

2) 1 - √(a+5) = (-2a-1 + √(-a^2+4a+1))/5

3) 1 + √(a+5) = (-2a-1 - √(-a^2+4a+1))/5

4) 1 + √(a+5) = (-2a-1 + √)-a^2+4a+1))/5

Эти уравнения решаются точно также.

Потом точно также решаем случай Б.

Второй случай. Уравнения имеют по одному корню, и он общий.

{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0

{ 2|x| - x^2 = 4x^2 + 4ax + a^2

Здесь тоже два случая.

А) x < 0; |x| = -x

{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0

{ 5x^2 + (4a+2)x + a^2 = 0

Б) x ≥ 0; |x| = x

{ x^2 - 2x + (-a-4) = 0

{ 5x^2 + (4a-2)x + a^2 = 0

Решаем случай А. Дискриминанты должны быть равны 0.

{ D = 4a + 20 = 0; a1 = -5

{ D = -4a^2 + 16a + 4 = 0

a^2 - 4a - 1 = 0

D = 16 + 4 = 20

a2 = (4 - 2√5)/2 = 2 - √5; a3 = 2 + √5

Вот при этих трёх значениях и будет одно решение системы.

Четвертое решение должно быть в Первом случае, но его там искать надо.

Видимо, там и получается a4 = 0.