Подробное решение + рисунок.
а)В окружности проведены хорды АВ||CD и AE||FD. Докажите, что хорды FB и CE
параллельны.
б)В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону пополам. Найдите: А) углы ромбы. Б) его периметр, если меньшая диагональ равна 3,5 см.
в)Окружности, радиусы которых равны 1см и 3 см, внешне касаются. Найдите угол между их внешними касательными.
г) Найдите длину окруждности, описаннной около прямоугольного треугольника с катетом b и прилежащим к нему острым углом a.
Answers & Comments
а)Так как AB//CD, то дуга АС=дуге ВD => угол FBA=углу DCE, как опирающиеся на равные дуги одной окружности.
Аналогично доказываем, что угол BFD = углу CEA.
Точки пересечения хорд назовем М и N (см. рисунок).
Треугольники FBM и ECN подобны по двум углам. А так как по условию FM//EN и BM//CN, то FB//CE.
б)Так как в ромбе все стороны равны и АН = половине АВ, АН= половине AD. Получается, что в прямоугольном треугольнике ADH катет равен половине гипотенузы => <ADH = 30 градусов., тогда <DAH=60 градусов. Противоположные углы ромба равны, значит угол С=60 градусов. Угол D + угол B=180 градусов, значит <D = 120 гр. И <B=120гр.
Периметр. Рассмотрим тр. DAB, он равнобедренный и угол А=60 гр., значит углы D и В равны по 60 гр., т. е. треугольник DAB равносторонний и его стороны равны по 3,5см.
Таким образом DA=AB=BC=CD=3,5см. Значит периметр равен 3,5*4=14
Ответ: 14см.
в)См. рисунок.
ОА перпендикулярен АМ и ЕВ перпендикулярен АМ , значит ОА//ЕВ. Отсюда следует, что Треугольники МАО и МВЕ перпендикулярные и они подобны по двум углам (углы АОМ и ВЕМ равны как соответственные). Из подобия следует, что АМ:ВМ= АО: ВЕ=3:1 =>AB:ВМ=2:1. Обозначим АВ=2х, ВМ=1х.
Из треугольника ЕВМ по теореме Пифагора найдем ЕМ. ЕМ²=ЕВ²+ВМ² => EM²=1²+x²=1+x².
Таким образом ОМ= 3+1+ЕМ= 4+кор.из(1+х²)
С другой стороны по теореме Пифагора ОМ²=9+9х² => OM= кор.из(9+9х²)
Составим уравнение : кор.из(9+9х²)=4+кор.из(1+х²) Решая это уравнение, получаем, что х=кор.из3
Рассмотрим теперь треугольник ВЕМ. Так как он прямоугольный, то tg угла ВМЕ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т. е. ВЕ:ВМ=1:кор.из3 => угол ВМЕ=30градусов.
Угол ВМЕ = углу КМЕ (Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.)=> угол ВМК=60градусов.
г)Обозначим гипотенузу треугольника с. cos a=b/c =>c=b/cos a
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, значит радиус этой окружности равен с/2=b/(2cos a).
Длина окружности равна 2πR= 2*π*b/(2cos a)=(π*b)/cos a