подскажите, как найти найбольшее значение примера 4sin a + 5 cos a, пожалуйста, ...

August 2022 1 11 Report

подскажите, как найти найбольшее значение примера 4sin a + 5 cos a, пожалуйста, с объяснением. заранее, спасибо)

mathkot

Ответ:

$\boxed{\sqrt{41}}$

Объяснение:

$max: 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

Воспользуемся методом вспомогательного аргумента:

Введем функцию $f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha$

$f(\alpha ) = 4 \sin \alpha + 5 \cos \alpha \bigg |\cdot \dfrac{1}{\sqrt{4^{2} + 5^{2}}}$

$(\sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41})$

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \dfrac{4}{\sqrt{41} } \cdot \sin \alpha + \dfrac{5}{\sqrt{41} } \cdot \cos \alpha$

Пусть $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ и $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$

Так как $\sin^{2} \phi + \cos^{2} \phi = 1$

$\bigg (\dfrac{4}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} + \bigg (\dfrac{5}{\sqrt{41} } \bigg)^{2} = 1$

$\dfrac{16}{41} + \dfrac{25}{41} = 1$

$\dfrac{41}{41} = 1$

$1 = 1$ , следовательно существует такой угол $\phi$ , что $\sin \phi = \dfrac{4}{\sqrt{41} }$ , а $\cos \phi = \dfrac{5}{\sqrt{41} }$ .

$\dfrac{f(\alpha )}{\sqrt{41} } = \sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha | \cdot \sqrt{41}$

$f(\alpha ) = \sqrt{41}(\sin \phi \cdot \sin \alpha + \cos \phi \cdot \cos \alpha )$

$f(\alpha ) = \sqrt{41} \sin (\phi + \alpha )$

По свойствам функции синус она достигает максимального значения 1, тогда максимум функции $f(\alpha ) = \sqrt{41} \cdot 1 = \sqrt{41}$

$max: f(\alpha ) =\sqrt{41}$

1 votes Thanks 2