#1. 1) На заключительном этапе эволюции Солнце станет чёрной дырой - нет.

Так как для того, чтобы звезда превратилась в чёрную дыру (всё вещество звезды сжалось приблизительно до размеров атома), требуется масса в двадцать раз превышающая массу Солнца. Из этого делаем вывод - Солнцу данный исход не грозит.

2) На заключительном этапе эволюции Солнце станет белой дырой - нет.

Само существования белых дыр (теоретически, объектов, имеющих противоположные чёрной дыре свойства) никак не подтверждено (не доказано), введено только гипотетическое понятие. И возможно таких объектов вовсе не существует и не будет существовать. Поэтому ничего сказать по этому поводу нельзя. Но скорее всего, исходя из условий появления чёрных дыр, солнце не сможет стать белой дырой.

3) На заключительном этапе эволюции Солнце станет нейроной звездой - нет.

И тут снова у нашего Светила не зватает массы. Для образования нейронной звезды (космического тела, состоящего из ядра, которое состоит исключительно из нейтронов, и относительно тонкой твёрдой оболочки. Из-за этого нейтронные звёзды чрезвычайно плотные) требуется звезда, в 8 раз тяжелее Солнца. Поэтому, Солнцу не суждено стать также нейтронной звездой.

4) На заключительном этапе эволюции Солнце станет красным карликом - нет.

А в данном случае всё в точности, да наоборот прошлым ситуациям. Тут у Солнца слишком много массы, чтобы стать "каким-то" красным карликом (маленькой, довольно холодной звездой).

5) На заключительном этапе эволюции Солнце станет белым карликом - да.

В данном случае с массой всё сходится - звёзды, с массой Солнца могут стать белыми карликами (очень плотными, однако менее плотные относительно нейтронных звёзд, космическими объектами).

6) На заключительном этапе эволюции Солнце станет голубым гигантом - нет.

Нет, так как голубой гигант - не финальный этап эволюции любой звезды. Голубые гиганты - как правило, молодые и очень горячие звёзды (довольно крупные). Поэтому Солнце, являясь жёлтым карликом, априори не модет стать голубым гигантов. Однако на конечных (перед финальным) этапах Солнце сильно увеличится в размерах и ещё больше нагреется, в результате став Красным гигантом.

Ответ: вероятнее всего Солнце станет белым карликом.

#2. Может ли Солнце вспыхнуть сверхновой?

Нет, так как у Солнца и на это не хватит массы. Для вспышки сверхновой необходимма масса 8 Солнц. Поэтому Солнце, в итоге (вероятнее всего), станет планетарной туманностью (сброшенными верхними слоями звезды), с белым карликом по центру (условно).

Ответ: нет.

(*) Всё что написано в этом ответе (а также различных источниках: книгах, интернете и т. п.), является теорией, так как стопроцентно предсказать что-либо просто напросто невозможно. Однако вероятность исхода, описанного в ответе, довольно многовероятна.

__________

Удачи Вам! :)