Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает прямолинейный участок железной дороги с постоянным ускорением. Стоящий у края этого участка наблюдатель заметил, что локомотив поезда проезжает мимо него за такое же время, за какое проезжают последние 6 вагонов. Во сколько раз увеличивается скорость поезда за время, в течение которого он проезжает мимо наблюдателя? Ответ округлить до целых. Считать, что локомотив и вагоны одинаковы по своей длине и расположены вплотную друг за другом.. Created by dtsarev007. fizika-ru

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:Обозначим скорость поезда в начальный момент, как скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя: когда только 6 последних вагонов не проехали наблюдателя: и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя: В соответствии с условием: интервалы времени от состояния до и от состояния до – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное: [1]С другой стороны, от состояния до – поезд проезжает расстояние вшестеро большее, чем от состояния до – а значит, средняя скорость вшестеро больше средней скорости Сложим с [1] : [2]Поскольку разность квадратов краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то:так как вся длина поезда составляет вагонов + локомотив.Подставляем [2] и получаем:Из [2]:ОТВЕТ: ВТОРОЙ СПОСОБ:Запишем уравнение движения передней точки поезда относительно наблюдателя:Обозначим длину вагона, как Локомотив, потом почти весь состав без 6 вагонов, и затем весь состав –– проедут через время и [1] [2]Вычтем из последнего – предпоследнее:Поскольку то, используя [1]: [3]Учитывая [2] :Используя [1] :Скорость в конце прохождения всего состава, учитывая [3] :ОТВЕТ:

Поезд дальнего следования, состоящий из локомотива и 20 вагонов, преодолевает пр...

logophobia

Verified answer

ПЕРВЫЙ СПОСОБ:

Обозначим скорость поезда в начальный момент, как $v_o \ ,$

скорость, когда только один вагон проехал мимо наблюдателя: $v_1 \ ,$

когда только 6 последних вагонов не проехали наблюдателя: $v_6 \ ,$

и скорость , когда весь состав проехал мимо наблюдателя: $v \ .$

В соответствии с условием: интервалы времени от состояния $v_o$ до $v_1 \ ,$ и от состояния $v_6$ до $v$ – одинаковы, а значит и изменение скорости одинаковое, поскольку движение равноускоренное:

$v - v_6 = v_1 - v_o \ ;$ [1]

С другой стороны, от состояния $v_6$ до $v$ – поезд проезжает расстояние вшестеро большее, чем от состояния $v_o$ до $v_1$ – а значит, средняя скорость $v_{6end}$ вшестеро больше средней скорости $v_{o-1} .$

$v_{6end} = 6 v_{o-1} \ ;$

$v + v_6 = 6 v_1 + 6 v_o \ ;$

Сложим с [1] :

$v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o \ ;$ [2]

Поскольку разность квадратов краевых скоростей при одном и том же ускорении пропорциональна пройденному пути, то:

$v^2 - v_o^2 = 21 ( v_1^2 - v_o^2 ) \ ,$
так как вся длина поезда составляет $20$ вагонов + локомотив.

Подставляем [2] и получаем:

$( 3.5 v_1 + 2.5 v_o )^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;$

$12.25 v_1^2 + 17.5 v_1 v_o + 6.25 v_o^2 = 21 v_1^2 - 20 v_o^2 \ ;$

$8.75 v_1^2 - 17.5 v_1 v_o - 26.25 v_o^2 = 0 \ ; \ \ \ \ || : 8.75 v_o^2 }$

$(\frac{v_1}{v_o})^2 - 2 \cdot \frac{v_1}{v_o} - 3 = 0 \ ;$

$\frac{v_1}{v_o} \in \{ -1 , 3 \} \ ;$

$v_1 = 3 v_o \ ;$

Из [2]:

$v = 3.5 v_1 + 2.5 v_o = 3.5 \cdot 3 v_o + 2.5 v_o = 13 v_o \ ;$

ОТВЕТ: $\frac{v}{v_o} = 13 \ .$

ВТОРОЙ СПОСОБ:

Запишем уравнение движения передней точки поезда относительно наблюдателя:

$S = v_o t + \frac{at^2}{2} \ ;$

Обозначим длину вагона, как $L .$

Локомотив, потом почти весь состав без 6 вагонов, и затем весь состав –
– проедут через время $t_o , t_6$ и $t :$

$L = v_o t_o + \frac{a t_o^2}{2} \ ;$ [1]

$15L = v_o t_6 + \frac{a t_6^2}{2} \ ;$ [2]

$21L = v_o t + \frac{a t^2}{2} \ ;$

Вычтем из последнего – предпоследнее:

$6L = v_o ( t - t_6 ) + \frac{a}{2} ( t^2 - t_6^2 ) \ ;$

Поскольку $t - t_6 = t_o ,$ то, используя [1]:

$6L = v_o t_o + \frac{a t_o}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o t_o + 6 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;$

$v_o + \frac{a}{2} ( t + t_6 ) = 6 v_o + 6 \cdot \frac{a t_o}{2} \ ;$

$t + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;$

$t_6 + t_o + t_6 = \frac{10v_o}{a} + 6 t_o \ ;$

$t_6 = \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o \ ;$

$t = t_6 + t_o = \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o \ ;$ [3]

Учитывая [2] :

$15L = v_o ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o ) + \frac{a}{2} ( \frac{5v_o}{a} + 2.5 t_o )^2 \ ;$

Используя [1] :

$15L = \frac{35v_o^2}{2a} + 15 v_o t_o + \frac{ 25 a t_o^2 }{8} = 15 v_o t_o + 15 \cdot \frac{a t_o^2}{2} \ ;$

$\frac{35v_o^2}{2a} = \frac{ 35 a t_o^2 }{8} \ ;$

$4 \frac{v_o^2}{a} = a t_o^2 \ ;$

$( \frac{ a t_o }{ v_o } )^2 = 4 \ ;$

$\frac{ a t_o }{ v_o } = 2 \ ;$

$a t_o = 2 v_o \ ;$

Скорость в конце прохождения всего состава, учитывая [3] :

$v = v_o + a t = v_o + a ( \frac{5v_o}{a} + 3.5 t_o ) =$

$= v_o + 5v_o + 3.5 a t_o = 6 v_o + 3.5 \cdot 2 v_o = 13 v_o \ ;$

ОТВЕТ: $\frac{v}{v_o} = 13 \ .$

4 votes Thanks 6

logophobia2 ТРЕТІЙ СПОСОБЪ:

Сдѣлаемъ дополнительныя построенія въ пространствѣ и во времени. Пусть длина вагона равна    $L \ .$     Пусть передъ тѣмъ, какъ передняя точка локомотива равняется съ наблюдателемъ – поѣздъ неограниченное время ужѣ ѣдетъ съ тѣмъ же ускореніемъ. За начало отсчета времени примемъ тотъ моментъ, когда скорость поѣзда была равна нулю. Въ такомъ случаѣ уравненіе движенія поѣзда упростится и не будетъ содержать начальной скорости, однако, когда передняя точка локомотива поравняется съ наблюдателемъ – поѣздъ ужѣ проѣдетъ нѣкоторое разстояніе    $xL \ .$

Время    $t_o$     въ это мгновеніе можно выразить, какъ:

$xL = \frac{at_o^2}{2} \ ;$

$t_o = \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;$       [1]

Аналогично имѣемъ время    $t_1 \ ,$     когда проѣдетъ локомотивъ:

$t_1 = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } \ ;$

Время    $t_6 \ ,$     когда проѣдетъ почти вѣсь поѣздъ, но всё жъ пока-таки безъ шести вагоновъ:

$t_6 = \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } \ ;$

Время    $t \ ,$     когда въ концѣ концовъ проѣдетъ вѣсь поѣздъ:

$t = \sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } \ ;$       [2]

Изъ равенства времёнъ, имѣющагося въ условіи:

$t - t_6 = t_1 - t_o \ ;$

$\sqrt{ \frac{2(x+21)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2(x+15)L}{a} } = \sqrt{ \frac{2(x+1)L}{a} } - \sqrt{ \frac{2xL}{a} } \ ;$

$\sqrt{ x + 21 } - \sqrt{ x + 15 } = \sqrt{ x + 1 } - \sqrt{x} \ ;$

$2x + 36 - 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } = 2x + 1 - 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } \ ;$

$35 + 2 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 2 \sqrt{ ( x + 21 ) ( x + 15 ) } \ ;$

$1225 + 140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } + 4 x^2 + 4x = 4 ( x^2 + 36x + 315 ) \ ;$

$140 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 140x + 35 \ ;$

$4 \sqrt{ x ( x + 1 ) } = 4x + 1 \ ;$

$16x^2 + 16x = 16x^2 + 8x + 1 \ ;$

$8x = 1 \ ;$

$x = \frac{1}{8} \ ;$

Изъ выраженій [1] и [2] съ числовымъ значеніемъ    $x$     ужѣ и слѣдуетъ отвѣтъ на вопросъ задачи:

$\frac{v}{v_o} = \frac{at}{at_o} = \frac{t}{t_o} = \frac{ \sqrt{ 2L(x+21)/a } }{ \sqrt{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ 2L(x+21)/a }{ 2Lx/a } } = \sqrt{ \frac{ x + 21 }{ x } } = \\\\\\ = \sqrt{ 1 + \frac{21}{x} } = \sqrt{ 1 + \frac{21}{1/8} } = \sqrt{ 1 + 21 \cdot 8 } = \sqrt{ 169 } = 13 \ ;$

ОТВѢТЪ :    $\frac{v}{v_o} = 13 \ ;$

3 votes Thanks 3

Answers & Comments

Verified answer

napishite pozhalujsta literaturnye proizvedeniya o seme 5 6 klass i ego avtora

sostavtesvyazannyjtekst iz sleduyushih slovochetanijpozheltevshaya listva uvyadshie li

kakoj harakter ne nosyat prava cheloveka prava cheloveka delimy prava cheloveka vseo

pomogite 5678 pliz ochen nado

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social