Будем рассматривать малые деформации, т.к. закон Гука работает только при малых деформациях - таких, при которых тело после снятия нагрузки возвращает свои размеры и форму в исходное состояние.

Известно, что при нагрузке на проволоку (или стержень) внутри неё возникают силы, стремящиеся вернуть частицы, из которых состоит проволока, в исходное положение. В совокупности эти силы составляют единую силу, которая действует на проволоку. Эта сила, как известно, называется силой упругости, и направлена она в противоположную силе нагрузки сторону, а по модулю равна ей:

F = |-Fупр|

Экспериментально доказано, что сила упругости в теле прямо пропорциональна деформации тела (если деформация небольшая и является упругой, а не пластической) и наоборот - деформация тела прямо пропорциональна силе упругости:

Fупр = k*x

Коэффициент пропорциональности k - это жёсткость тела, в данном случае - проволоки. Очевидно, что коэффициент k зависит от вещества, из которого состоит проволока, и её геометрических параметров. Попробуем выяснить его пропорциональность площади поперечного сечения проволоки S и её длине L.

При растяжении (или сжатии) проволока удлиняется (или укорачивается) на величину "x", которая и характеризует деформацию.

С другой стороны, если мы измерим поперечное сечение проволоки и силу, приложенную к ней и действующую на растяжение (или сжатие), то получим нечто похожее на давление:

F/S, где F по модулю равна Fупр, т.е.:

Fупр/S - это отношение является механическим напряжением σ, т.о.:

σ = Fупр/S

Т.к. нагрузка - это приложение силы, а механическое напряжение прямо пропорционально этой силе (а значит - и силе упругости в проволоке), то чем больше нагрузка на проволоку, тем больше механическое напряжение. И совершенно очевидно то, что чем больше нагрузка, тем больше деформируется проволока. Следовательно, деформация и механическое напряжение пропорциональны:

x ~ σ => x ~ Fупр/S

Но если так, то сама сила упругости будет пропорциональна произведению деформации и площади поперечного сечения проволоки:

x ~ Fупр/S | * S

Fупр ~ x*S, а т.к. Fупр = k*x, то

k*x ~ x*S - избавимся от множителя x, получим:

k*x ~ x*S | : х

k ~ S - жёсткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения проволоки.

Однако, необходимо понять, как пропорциональна жёсткость проволоки её длине - прямо или обратно. Если мы измерим деформацию (длину сжатия или растяжения), длину проволоки без нагрузки на неё, то сможем получить ещё одну косвенную величину - относительную деформацию ε, которая является отношением деформации тела (проволоки или стержня) к его собственной длине:

ε = x/L

Т.к. x ~ σ, а ε ~ x, то

ε ~ σ => x/L ~ Fупр/S =>

=> Fупр ~ (x/L)*S =>

=> k*x ~ (x/L)*S или, что то же самое:

k*x ~ x*(S/L) | : x

k ~ S/L - жёсткость прямо пропорциональна площади поперечного сечения проволоки и обратно пропорциональна её длине.