Verified answer

task/29588553   Пользуясь формулой Муавра  и  Бином Ньютона , выразить через степени sinφ и cosφ следующие функции кратных углов :

1) sin 4φ  ;       2) cos 5φ.  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * *  z₁ =a₁ + i *b₁  ;    z₂ =a₂ +i*b₂ .      Если  z₁ = z₂ , то  a₁ = a₂ и   b₁ = b₂  * * *

Формула Муавра: zⁿ = ( r(cosφ +i sinφ) )ⁿ = rⁿ*[cos(nφ) + i*sin(nφ)].

1 )  (cosφ +i sinφ)⁴ = cos4φ + i * sin4φ     ( а₁ )             * * * r =1 * * *

С другой стороны по формуле бинома Ньютона :

(cosφ +i sinφ)⁴=cos⁴φ+4cos³φ*(isinφ)+6cos²φ*(isinφ)²+4cosφ*(isinφ)³+(i sinφ)⁴

= cos⁴φ - 6cos²φ*sin²φ +sin⁴φ + i*( 4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ) .  ( б₁ )

Сравнивая (а₁) и (б₁) получаем :

sin4φ =4cos³φ*sinφ - 4cosφ*sin³φ  || = 4sinφcosφ* (cos²φ - sin²φ) =

2sin2φ *cos2φ =sin4φ ||  

========================================

2)  (cosφ +i sinφ)⁵ = cos5φ + i*sin5φ      ( а₂ )    

(cosφ +i sinφ)⁵ =cos⁵φ +5cos⁴φ*(isinφ)+10cos³φ*(isinφ)²+10cos²φ*(isinφ)³ +

+ 5cosφ*(isinφ)⁴+ (i sinφ)⁵ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ +

+i*(5cos⁴φ*isinφ -  10cos²φ*sin³φ + sin⁵ φ ).      ( б₂ )    

Сравнивая (а₂) и (б₂) получаем  :

cos5φ = cos⁵φ - 10cos³φ*sin²φ +5cosφ*sin⁴φ  .