f'(0) существует, если существует

а) |x³| / x = x * |x| -> 0 при x -> 0 => f'(0) = 0

б) При x >= 0, f(x) = 2x; 2x / x = 2 - правый предел. При x <= 0, f(x) = 0; 0/x = 0 - левый предел. Левый и правый пределы не совпадают - предела нет - производной не существует.

в) Возьмем x(n) = 1/(П/2 + 2Пn), тогда sin(1/x(n)) = 1, sin(1/x(n))/x(n) -> ∞, x(n) -> 0 - предела нет, производной нет.

г) x*sin(1/x) / x = sin(1/x). Рассмотрим x1(n) = 1/(П/2 + 2Пn) -> 0: sin(1/x1(n)) = 1. Рассмотрим x2(n) = 1/2Пn -> 0: sin(1/x2(n)) = 0. Пределы последовательностей не совпадают - предела нет - производной нет.

д) x²sin(x) / x = x*sin(x), |x*sin(x)| <= |x| -> 0 - существует предел = 0, f'(0) = 0