Verified answer

Ответ:

а) да; б) нет; в) 972

Пошаговое объяснение:

а) Пусть геометрическая прогрессия имеет знаменатель . Тогда получим последовательность . Число 686 может быть записано на доске.

б) Заметим, что знаменатель прогрессии q не может быть иррациональным числом: в противном случае второй член прогрессии b₂ = 128q — иррациональное число, что противоречит условию. Значит, q — рациональное число.

Предположим, что 496 является n-ным членом последовательности. Тогда . Поскольку 31 — простое число, оно не является степенью какого-либо другого числа. Значит, n = 1, . Тогда получаем геометрическую прогрессию — третий член последовательности не трёхзначный, что противоречит условию. Значит, прогрессии с членом 496 не существует.

в) Пусть A — наибольший возможный член геометрической прогрессии, по условию A < 1000. Тогда . Число является степенью некоторого рационального числа, значит, , где k — некоторое целое число из промежутка [0, 7], a — положительное нечётное число. Число представимо в таком виде, поскольку на можно сократить, в знаменателе останется , далее дробь несократима и является степенью n = 7 - k числа q: . Значит, .

Переберём все k от 0 до 7:

• k = 0: .
• k = 1: .
• k = 2: .
• k = 3: .
• k = 4: .
• k = 5: .
• k = 6:
• k = 7: — верно, A = 128.

Наибольшее значение A = 972. Покажем, что оно достигается. Пусть . Тогда

Таким образом, наибольшее число, которое могла выписать Даша — 972.