1.

а)

Формула вычисления суммы внутренних углов многоугольника, зная количество сторон:

Как мы видим, количество сторон — число, с плавающей точкой, что и означает, что многоугольник с такой суммой углов — не сущесвует.

б)

Формула вычисления внутреннего угла правильного многоугольника такова:

Количество сторон — целое число, то есть, правильный многоугольник, чей внутренний угол равен 160° — существует, и является 18-угольником.

в)

Радиус описанной окружности около любого многоугольника — пересекается с многоугольником — в его вершинах, а радиус вписанной окружности — касается его сторон, следовательно, радиус описанной окружности — пересекает границу радиуса вписанной, то есть — она больше неё.

2.

Чтобы найти площадь сектора, надо найти радиус окружности(в нашем случав, в квадрат), формула его вычисления такова:

Дальше, найдём площадь всей окружности:

Хм.... выглядит некрасиво ┐(‘～` )┌.

Как мы видим, 2 радиуса проведены к двум вершинам квадрата, значит они образуют со стороною равнобедренный прямоугольный треугольник, что и означает, что все эти 4 радиуса — делят окружность на 4 равных частей.

То есть коэффициент подобия площади окружности и площади закрашенной фигуры равна: 4.

Площадь закрашенной фигуры равна:  

Вывод: Площадь равна: 12.5π квадратных см.

3.

Для начала проведём несколько радиусов описанной окружности, проведённых к вершинам D & A & B & C.

Радиус описанной окружности около правильного шестиугольника равен его стороне.

То есть:

Что и означает, что: ΔAGB & ΔGBC & ΔDGA — правильные.

То есть ценральные углы, такие как: <AGB; <BGC; <AGD — равны 60°.

Теорема о центральном угле окружности гласит: напротив центального угла лежит дуга, равная ей градусной мерой.

То есть:

Вывод: ∪KLM равна 150°.