Verified answer

Про четырёхугольник ABCD известно, что ∠BAC = ∠CAD = 60°; AB + AD = AC. Также известно, что ∠ACD = 25°. Сколько градусов составляет угол ABC?

Дано: ABCD - четырёхугольник,  ∠ACD = 25°;

          ∠BAC = ∠CAD = 60°; AB + AD = AC.

Найти: ∠ABC.

Решение:

Так как AB + AD = AC, разобьём отрезок AC точкой К так, что

AK = AB;   KC = AD.    

Проведём отрезок BK.

Тогда треугольник ABK равнобедренный (AK=AB) с углом при вершине 60° (∠BAK=60°). Значит, этот треугольник равносторонний:

∠BAK = ∠ABK = ∠BKA = 60°

AB = AK = BK

Угол BKC смежный углу BKA=60°, ∠BKC = 120°.

Так как AB + AD = AC, разобьём отрезок AC точкой M так, что

AM = AD;   MC = AB.    

Проведём отрезок DM.

Тогда треугольник ADM равнобедренный (AD=AM) с углом при вершине 60° (∠MAD=60°). Значит, этот треугольник равносторонний:

∠MAD = ∠MDA = ∠AMD = 60°

AD = AM = DM

Угол DMC смежный углу AMD=60°, ∠DMC = 120°.

ΔBKC = ΔCMD по двум сторонам (KC=DM; BK=MC) и углу между ними

(∠BKC=∠DMC=120°).

Значит, ∠CBK = ∠DCM = 25° как углы, лежащие в равных треугольниках против равных сторон.

∠ABC = ∠ABK + ∠CBK = 60° + 25° = 85°

Ответ: ∠ABC = 85°.