Verified answer

Примем ребро куба равным единице. 

Соединив отрезками точки О, M, N, получим ∆ MON. 

Искомый угол-∠MON 

ОN - средняя линия ∆ А1D1C1 и равна половине А1С1, которая, как диагональ квадрата со стороной=1 равна √2⇒

ON=√2):2 

ОМ -- параллельна и равна диагонали A1B грани (квадрата) =√2

Проведем NK ||СС1, следовательно, NK ⊥ плоскости грани АВСD

КМ средняя линия треугольника ВСD  и равна √2):2

По т.Пифагора

NM² = NK²+KM²=6/4=3/2

По т.косинусов:

MN²=ON²+OM² -2*ON*OM*cos∠MON

3/2=1/2+2-4/2*cos∠MON

3/2-5/2=- 2cos∠MON

-2/2=-2cos∠MON

cos∠MON=1/2 - это косинус 60º

∠MON=60º

-------------- 

Вариант решения.

Проведем ОЕ||NM;  EM||ON

NЕ и OM параллельны и равны диагоналям параллельных им граней куба, следовательно, они равны между собой. 

В четырехугольнике ONME противоположные стороны параллельны и равны, диагонали равны, следовательно,  ONME - прямоугольник. 

Тогда катет ON треугольника ONM, как найдено выше, равен половине гипотенузы ОМ, следовательно, угол NMO=30º, а ∠NOM= 60º