Verified answer

Затаив дыхание (д/о), сидели дети на холодном камне.

• Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом.

Снег скрипел и пел, визжа под колесами (д/о).

• Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом.

В остальных случаях:

Вконец обиженный, мальчик× побрел домой.

• Обособленное определение, выраженное причастным оборотом, стоящим перед определяемым словом× и имеющим обстоятельственное значение.

Поля были беспредельны, и лишь далеко на горизонте темнела полоска леса.

• Обстоятельства с частицей "лишь" не обособляются.

Пришлось согласиться с этим предложением скрепя сердце.

• Обстоятельство, выраженное фразеологизмом, не обособляется.