6. Модуль каждого члена ряда /an/=n/(n³+1). Положим n=k, перейдём к n=k+1 и исследуем разность /ak/-/a(k+1)/=(k/(k³+1)-(k+1))/((k+1)³+1)=(2*k³+3*k²+k-1)/((k³+1)*((k+1)³+1))). Так числитель дроби при любом k≥1 положителен, и знаменатель также положителен, то дробь положительна при любом k. Значит, /ak/>/a(k+1)/ при любом k. А тогда по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов ряд сходится. Теперь рассмотрим ряд из модулей ∑n/(n³+1)<∑n/n³=∑1/n². Но последний ряд (так называемый "ряд обратных квадратов") сходится, поэтому сходится и ряд из модулей. А это значит, что данный исходный ряд сходится абсолютно. Ответ: ряд сходится абсолютно.
16. Очевидно, что с увеличением n знаменатель дроби 1/√(n+2) увеличивается при неизменном числителе, то есть сама дробь уменьшается. Значит, при переходе от n=k к n=k+1 /an/ уменьшается. По признаку Лейбница, данный ряд сходится. Составим теперь ряд из модулей ∑1/√(n+2). Так как √(n+2)<n+2, то ∑1/√(n+2)>∑1/(n+2). Но последний ряд ∑1/(n+2)=∑1/n-(1+1/2)=∑1/n-3/2. А так как ряд ∑1/n (так называемый гармонический ряд) расходится, то расходится и ряд из модулей. А это значит, что исходный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.
Answers & Comments
Verified answer
6. Модуль каждого члена ряда /an/=n/(n³+1). Положим n=k, перейдём к n=k+1 и исследуем разность /ak/-/a(k+1)/=(k/(k³+1)-(k+1))/((k+1)³+1)=(2*k³+3*k²+k-1)/((k³+1)*((k+1)³+1))). Так числитель дроби при любом k≥1 положителен, и знаменатель также положителен, то дробь положительна при любом k. Значит, /ak/>/a(k+1)/ при любом k. А тогда по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов ряд сходится.Теперь рассмотрим ряд из модулей ∑n/(n³+1)<∑n/n³=∑1/n². Но последний ряд (так называемый "ряд обратных квадратов") сходится, поэтому сходится и ряд из модулей. А это значит, что данный исходный ряд сходится абсолютно. Ответ: ряд сходится абсолютно.
16. Очевидно, что с увеличением n знаменатель дроби 1/√(n+2) увеличивается при неизменном числителе, то есть сама дробь уменьшается. Значит, при переходе от n=k к n=k+1 /an/ уменьшается. По признаку Лейбница, данный ряд сходится.
Составим теперь ряд из модулей ∑1/√(n+2). Так как √(n+2)<n+2, то ∑1/√(n+2)>∑1/(n+2). Но последний ряд ∑1/(n+2)=∑1/n-(1+1/2)=∑1/n-3/2. А так как ряд ∑1/n (так называемый гармонический ряд) расходится, то расходится и ряд из модулей. А это значит, что исходный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.