Помогите пожалуйста или хотя бы подскажите каким способом тут можно решить...
Answers & Comments
siestarjoki
1) Угол между касательными, проведенными из одной точки, равен 180 минус величина меньшей заключенной внутри него дуги. Д-во: Рассмотрим четырехугольник, образованный отрезками касательных и радиусами (ADOF). Сумма углов четырехугольника 360. Углы между касательными и радиусами 90 (ADO, AFO). Угол между отрезками касательных (DAF) равен 180 минус угол между радиусами (DOF). Центральный угол (DOF) равен величине дуги, которую он стягивает (U DF).
2) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе, ∠OCF=90/2=45, ∠CFO=90 (угол между касательной и радиусом), ∠FOC=180-90-45=45 △FOC - равнобедренный => OF=FC
По теореме Пифагора: OF^2+FC^2=OC^2 <=> 2OF^2=32 <=> OF=4
AD=AF (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны) △FAD - равнобедренный, ∠A=60 => △FAD - равносторонний => AD=AF=DF
PK=PD, TK=TF (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны) P APT = AP+PK+AT+TK = AP+PD+AT+TF = AD+AF = 2DF = 8√3
4) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы => △AO1C - равнобедренный, ∠A=60 => △AO1C - равносторонний => AO1=AC
Answers & Comments
Д-во: Рассмотрим четырехугольник, образованный отрезками касательных и радиусами (ADOF). Сумма углов четырехугольника 360. Углы между касательными и радиусами 90 (ADO, AFO). Угол между отрезками касательных (DAF) равен 180 минус угол между радиусами (DOF). Центральный угол (DOF) равен величине дуги, которую он стягивает (U DF).
∠DOE=180-∠DOE=180-30=150
∠FOE=180-90=90
∠DOF=180-∠DAF=180-60=120
150:90:120 = 5:3:4
2) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе, ∠OCF=90/2=45, ∠CFO=90 (угол между касательной и радиусом), ∠FOC=180-90-45=45
△FOC - равнобедренный => OF=FC
По теореме Пифагора:
OF^2+FC^2=OC^2 <=> 2OF^2=32 <=> OF=4
3) Теорема косинусов (△DOF):
DF^2=DO^2+OF^2-2*DO*OF*cos(DOF) <=> DF=√(2*16*1,5)=4√3
AD=AF (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны)
△FAD - равнобедренный, ∠A=60 => △FAD - равносторонний => AD=AF=DF
PK=PD, TK=TF (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны)
P APT = AP+PK+AT+TK = AP+PD+AT+TF = AD+AF = 2DF = 8√3
4) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы => △AO1C - равнобедренный, ∠A=60 => △AO1C - равносторонний => AO1=AC
R= AO1 = AF+FC = 4√3+4 (~10,93)