Исследовать функцию и построить график

f(x)=x⁴+x²+1

Пошаговое объяснение:

f(x)=x⁴+x²+1 . Область определения х-любое.

1)Промежутки возрастания и убывания.

Найдем производную функции  f'(x)=(x⁴+x²+1)'=4х³+2х=2х(2х²+1).

f'(x)=0  , выражение 2х²+1>0 при любом х.

Критическая точка х=0 .

Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X,

2х(2х²+1)>0  или х>0

----------------------(0)++++++++ ,   х∈(0;+∞) .

Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈ [0;+∞)

Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Используя схему выше ⇒ х∈(-∞;0]  .

2)Экстремумы.

Точка х₀-точка максимума , если производная меняет свой знак с +на -.

Точка х₀- точка минимума , если производная меняет свой знак с - на +.

у'         -                            +

--------------------------(0)---------------

у         убыв         min         возр

х=0  точка минимума  ,   f(0)=0⁴+0²+1=1

Функция четная  f(-x)=(-x)⁴+(-x)²+1=x⁴+x²+1=f(x), график симметричен относительно оси оу.

Доп. точки

х   -1,5      -1      -0,5

у   8,31      3      1,31