помогите, пожалуйста "Найти общий вид первообразных для функции". Created by NikoRud. algebra-ru

Совокупность всех первообразных функции называют неопределенным интегралом:где — произвольная постоянная.Тогда Теорема: если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке , то на этом промежутке функция является первообразной функции где — произвольная постоянная.Тогда Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции Тогда Теорема: если функция является первообразной для функции на промежутке , а — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции где — произвольная постоянная.Найдем каждый интеграл по отдельности:Получаем: Таким образом, общий вид первообразных для функции имеет вид:Ответ: Использованные формулы интегрирования:

помогите, пожалуйста "Найти общий вид первообразных для функции"...

NikoRud @NikoRud

August 2022 1 13 Report

помогите, пожалуйста
"Найти общий вид первообразных для функции"

Answers & Comments

nikebod313

$f(x) = \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1}$

Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называют неопределенным интегралом:

$\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int f(x) \, dx = \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx$

Теорема: если функции $F$ и $G$ являются соответственно первообразными функций $f$ и $g$ на промежутке $I$ , то на этом промежутке функция $y = F(x) \pm G(x)$ является первообразной функции $y = f(x) \pm g(x):$

$\displaystyle \int \left(f(x) \pm g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx = F(x) \pm G(x) + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx =$

$\displaystyle = \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция $F$ является первообразной для функции $f$ на промежутке $I$ , а $k$ — некоторое число, то на этом промежутке функция $y = kF(x)$ является первообразной функции $y = kf(x):$

$\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx = kF(x) + C$

Тогда $\displaystyle \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx =$

$= \displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция $F$ является первообразной для функции $f$ на промежутке $I$ , а $k$ — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция $y = \dfrac{1}{k} F(kx + b)$ является первообразной функции $y = f(kx + b):$

$\displaystyle \int f(kx + b) \, dx = \dfrac{1}{k} F(kx + b) + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

Найдем каждый интеграл по отдельности:

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} = \int (3 - 5x)^{-4} \, dx = \dfrac{1}{-5} \cdot \dfrac{(3 - 5x)^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C =$

$= \dfrac{1}{15(3 - 5x)^{3}} + C$

$2) \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} = \dfrac{1}{2} \, \text{tg} \, 2x + C$

$3) \ \displaystyle \int e^{8x+1} dx = \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Получаем: $\displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx =$

$= \dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Таким образом, общий вид первообразных для функции $f(x)$ имеет вид:

$\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Ответ: $\dfrac{8}{15(3 - 5x)^{3}} + \dfrac{3}{2} \, \text{tg}\, 2x - \dfrac{1}{8} e^{8x + 1} + C$

Использованные формулы интегрирования:

$\displaystyle \int x^{a} \, dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + C, \ a \neq -1$

$\displaystyle \int \dfrac{dx}{\cos^{2}x} = \text{tg} \, x + C$

$\displaystyle \int e^{x} \, dx = e^{x} + C$

3 votes Thanks 1

NikoRud спасибо огромное Вам!

nikebod313 Обращайтесь!

Answers & Comments

predstavte trehchlen v vide kvadrata dvuhchlena a a v stepeni 2 26a 169

pomogite pozhalujsta s poyasneniem najti obshij vid pervoobraznyh dlya funkcii f

vychislite predvaritelno sdelav risunok ploshad figury ogranichennoj liniyami9544a0a1e4bca971ff31f4368b420e36 81512

pomogite pozhalujsta s poyasneniem najti naibolshee i naimenshie znachenie funkc

privedite primery grazhdanskij voin v sovremennom mire mozhno i pozzhe vremenah

reshite uravnenie 3h 25h3 15h27 pomogite proshu vas

nebo vyzvezdilo kak eto byvaet tolko na yuge grammaticheskaya osnova etogo predl

pomogite pozhalujsta s zapyatymi iz zarubezhnyh knig vyshedshih v nachale hih veka

no ya ne ponimayu chto imenno nuzhna zapyataya posle ponimayu

ogloshat spisok pochemu bukva o vremyapreprovozhdenie pochemu bukva o iz

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social