если окружность вписана в многоугольник, то ее ценр лежит на пересечении биссектрисс его углов. В правильном многоугольнике углы равны. Рассматриваем треугольники с боковыми сторонами - биссектриссами углов и основанием -стороной правльного многоугольника. Эти треугольники равнобедренные, так как углы при основании равны.  Высота к основанию этих треугольников равна радиусу окружности (основание касается окружности под прямым углом). Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, что она биссектрисса и медиана. Значит окружность касается сторон правльного многоугольника в их серединах