Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ Найти расстояние между диагоналями граней B₁D₁ и DС₁=m
m - диагональ квадрата ⇒ сторона квадрата (ребро куба) a = m/√2 Прямая DC₁ лежит в плоскости DD₁C₁C, а прямая B₁D₁ пересекает эту плоскость в точке D₁ ⇒ прямые DC₁ и B₁D₁ - скрещивающиеся Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно построить плоскость, проходящую через одну из прямых, параллельную другой прямой, затем найти расстояние между прямой и плоскостью
BD║B₁D₁ - диагонали параллельных граней куба и BD лежит в плоскости BDС₁ ⇒ B₁D₁║(BDС₁) Так как прямая параллельна плоскости, то расстояние от каждой точки прямой до плоскости - величина постоянная, это и будет расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
ΔBDС₁: BD = BC = DС₁ = m - это диагонали граней-квадратов куба. ⇒ ΔBDС₁ - равносторонний ⇒ Высота MС₁=m*sin60° = m*√3/2 Высота в равностороннем треугольнике - она же и медиана ⇒ BM = MD = m/2
ΔMKС₁ - прямоугольный: ∠MKC = 90° катет MK = a = m/√2 катет KС₁ = MD = m/2 гипотенуза MС₁ = m*√3/2 высота KN: из формул площади прямоугольного треугольника KN = FP = m/√6 - расстояние между диагоналями смежных граней куба
Answers & Comments
Verified answer
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁Найти расстояние между диагоналями граней B₁D₁ и DС₁=m
m - диагональ квадрата ⇒ сторона квадрата (ребро куба)
a = m/√2
Прямая DC₁ лежит в плоскости DD₁C₁C, а прямая B₁D₁ пересекает эту плоскость в точке D₁ ⇒ прямые DC₁ и B₁D₁ - скрещивающиеся
Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно построить плоскость, проходящую через одну из прямых, параллельную другой прямой, затем найти расстояние между прямой и плоскостью
BD║B₁D₁ - диагонали параллельных граней куба и
BD лежит в плоскости BDС₁ ⇒ B₁D₁║(BDС₁)
Так как прямая параллельна плоскости, то расстояние от каждой точки прямой до плоскости - величина постоянная, это и будет расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.
ΔBDС₁: BD = BC = DС₁ = m - это диагонали граней-квадратов куба.
⇒ ΔBDС₁ - равносторонний ⇒
Высота MС₁=m*sin60° = m*√3/2
Высота в равностороннем треугольнике - она же и медиана ⇒
BM = MD = m/2
ΔMKС₁ - прямоугольный: ∠MKC = 90°
катет MK = a = m/√2
катет KС₁ = MD = m/2
гипотенуза MС₁ = m*√3/2
высота KN: из формул площади прямоугольного треугольника
KN = FP = m/√6 - расстояние между диагоналями смежных граней куба
Verified answer
Ребро куба - а = m/√2пусть А - начало координат.
ось X - AB
ось Y - AD
ось Z - AA1
вектора
В1С1 (0;a;0)
DC1 ( a;0;a)
B1D1(-a;a;0)
d (DC1;B1D1) = | B1C1 * DC1xB1D1 | / | DC1xB1D1 | = a^3 / √(a^4+a^4+a^4)=a/√3 = m/√6