Ответ:

В решении.

Объяснение:

1. Решить систему уравнений:

х² + у² = 65

х*у = 8

Выразить х через у во втором уравнении, подставить выражение в первое уравнение и вычислить у:

х = 8/у

(8/у)² + у² = 65

64/у² + у² = 65

Умножить полученное уравнение на у², чтобы избавиться от дробного выражения:

64 + у⁴ = 65у²

у⁴ - 65у² + 64 = 0, квадратное уравнение.

Ввести новую переменную для упрощения:

у² = t

Получили новое квадратное уравнение, найти корни:

t² - 65t + 64 = 0

D=b²-4ac = 4225 - 256 = 3969        √D=63

t₁=(-b-√D)/2a  

t₁=(65-63)/2

t₁=2/2

t₁= 1;                

t₂=(-b+√D)/2a

t₂=(65+63)/2

t₂=128/2

t₂=64;

Вернуться к первоначальной переменной:

у² = t;

у² = 1

у = ±√1

у₁ = 1;

у₂ = -1;

у² = 64

у = ±√64

у₃ = 8;

у₄ = -8;

Вычислить все значения х:

х = 8/у

х₁ = 8;

х₂ = -8;

х₃ = 1;

х₄ = -1.

Пары решений системы уравнений: (8; 1); (-8; -1); (1; 8); (-1; -8).

2. Задача.

х - производительность второго рабочего (деталей в час);

х + 6 - производительность первого рабочего (деталей в час);

140/х - время второго рабочего;

140/(х + 6) - время первого рабочего;

Разница во времени - 3 часа, уравнение:

140/х - 140/(х + 6) = 3

Умножить все части уравнения на х(х + 6), чтобы избавиться от дроби:

140*(х + 6) - 140*х = 3*х*(х + 6)

140х + 840 - 140х = 3х² + 18х

-3х² - 18х + 840 = 0

Разделить все части уравнения на -3 для упрощения:

х² + 6х - 280 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 36 + 1120 = 1156         √D=34

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-6-34)/2

х₁= -40/2 = -20, отбросить, как отрицательный.

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(-6+34)/2

х₂=28/2

х₂= 14 (дет.) - производительность второго рабочего (деталей в час);

14 + 6 = 20 (дет.) - производительность первого рабочего (деталей в час);

3.

а) Построить график функции у = (7х - 6)/(7х² - 6х);

ОДЗ: 7х² - 6х ≠ 0

         х(7х - 6) ≠ 0

         х₁ ≠ 0;

         7х - 6 ≠ 0

         7х ≠ 6

         х₂ ≠ 6/7

Преобразовать уравнение функции для упрощения:

у = (7х - 6)/(7х² - 6х)

у = (7х - 6)/(х*(7х - 6), сокращение;

у = 1/х.

График - гипербола.

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу.

Таблица:

х  -10     -5     -2     -1     0     1      2     5     10

у  -0,1   -0,2  -0,5   -1     -      1    0,5  0,2   0,1

б) Определить, при каком значении k прямая y = kx имеет с построенной гиперболой одну общую точку.

Гипербола имеет "выколотую точку" с координатами х = 6/7; у = 7/6, то есть точку, в которой функция не существует.

Прямая у = kx проходит через начало координат и будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку только тогда, когда будет проходить через "выколотую" точку.

Подставить координаты этой точки в уравнение прямой и вычислить коэффициент k:

7/6 = k* 6/7

k = 7/6 : 6/7 = (7 * 7)/(6 * 6) = 49/36.

Прямая y = kx имеет с построенной гиперболой одну общую точку при k = 49/36.