Verified answer

Даны координаты вершин: А(6;1;0), В(-1;3;2), С(4;7;0), D(3;4;5).

1) Вектор АД = (-3; 3; 5), 3*АД = (-9; 9; 15).

  Вектор ВС = (5; 4; -2),  2*ВС = (10; 8; -4).

                             3*АД - 2*ВС = (-19; 1; 19).

2)  Вектор ДС = (1; 3; -5), его модуль = √(1 + 9 + 25) = √35.

    Вектор АВ = (-7; 2; 2), его модуль равен √(49 + 4 + 4) = √57.

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 1 · (-7) + 3 · 2 + (-5) · 2 = -7 + 6 - 10 = -11.

Найдем угол между векторами:

cos α =  (a · b)/ |a||b|

cos α =  -11/(√35 · √57)  = - 11√1995 /1995 ≈ -0,246276.

α = arc cos(-0,246276) = 1,819632  радиан = 104,257254 градуса.

3) Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Точки А(6;1;0), С(4;7;0). Вектор АС =(-2; 6; 0).

 x     y     z      x      y       АВ x АС = 0x - 4y - 42z - 0y - 12x + 4z =

-7     2      2     -7    2                       = -12x - 4y - 38z.

-2     6     0    -2     6        

Его модуль равен √(144 + 16 + 1444) = √1604 ≈ 40,049969.

Площадь АВС = 40,049969/2 = 20,024984.  

4) Вектор АД = (-3; 3; 5), АВ x АС = (-12; - 4; - 38)

Смешанное произведение (АВ х АС) х (АД) = 36 - 12 - 190 = -166.

Объём пирамиды V = (1/6)*166 = 83/3 ≈ 27,6667  куб.ед.