Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение xy` (lny

nKrynka @nKrynka

August 2022 1 65 Report

Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение
xy` (lny – lnx) = y

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

$xy' (\ln y - \ln x) = y$
Применяем свойство логарифма:
$xy' \ln \dfrac{y}{x} = y$
Далее преобразуем:
$y' \ln \dfrac{y}{x} = \dfrac{y}{x}$
Получаем однородное диф. уравнение.
Замена:
$\dfrac{y}{x} =t
\\\
\Rightarrow y=tx; \ y'=t'x+tx'=t'x+t$
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
$(t'x+t)\ln t=t
\\\
t'x+t= \dfrac{t}{\ln t} 
\\\
t'x= \dfrac{t}{\ln t} -t
\\\
 \dfrac{xdt}{dx} =\dfrac{t}{\ln t} -t
\\\
 \dfrac{dt}{\dfrac{t}{\ln t} -t} = \dfrac{dx}{x}$
Интегрируем левую часть отдельно:
$\int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t}{\ln t} -t} dt=
 \int\limits \dfrac{1}{\dfrac{t-t\ln t}{\ln t} } dt=
 \int\limits \dfrac{\ln t}{t-t\ln t }dt =
 \int\limits \dfrac{\ln t}{t(1-\ln t) }dt$
Искусственно добавим и отнимем 1 в числителе и разобьем интеграл на два интеграла:
$\int\limits \dfrac{\ln t-1+1}{t(1-\ln t) }dt =
 \int\limits \dfrac{\ln t-1}{t(1-\ln t) }dt + \int\limits \dfrac{1}{t(1-\ln t) }dt$
Выполняем подведение под знак дифференциала:
$- \int\limits \dfrac{1}{t }dt + \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(\ln t) =
- \int\limits \dfrac{1}{t }dt - \int\limits \dfrac{1}{1-\ln t }d(1-\ln t) =
\\\
=- \ln |t| - \ln|1-\ln t|$
После интегрирования получим:
$- \ln |t| - \ln|1-\ln t|=\ln|x|+\ln|C| \\\ - \ln |t(1-\ln t)|=\ln|Cx| \\\ \ln |(t(1-\ln t))^{-1}|=\ln|Cx| \\\ (t(1-\ln t))^{-1}=Cx \\\ \dfrac{1}{t(1-\ln t)} =Cx$
Обратная замена:
$\dfrac{1}{ \dfrac{y}{x} (1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx
\\\
 \dfrac{x}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =Cx$
На х можно сократить, так как по условию х не может быть равен 0.
$\dfrac{1}{ y(1-\ln \dfrac{y}{x} )} =C
\\\
Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1$
Ответ: $Cy(1-\ln \dfrac{y}{x} )=1$ - общий интеграл уравнения

180599 спасибо

Answers & Comments

Verified answer

pomogite pozhalujsta reshit zadachu pri izmerenii soprotivleniya sobstvennogo po

pomogite pozhalujsta reshit zadachu puchok parallelnyh monohromaticheskih luchej

m70004c9dacd317231bdc185c2da6208c 10220

pomogite pozhalujsta reshit zadachu dva tochechnyh zaryada q1 24 nkl i q2 75

pomogite pozhalujsta reshit zadachu katushka bez magnitnogo serdechnika dlinoj

pomogite pozhalujsta reshit zadanie dany koordinaty chetyryoh tochek a2 1 0

s2d63f94d69af3cbf9af478d4b16ab348e 55507

pomogite pozhalujsta reshit zadachu vse gosudarstva raspolozhennye na nekotoroj98cc0dac65d9afbbf3a6d91a015973b2 62537

pomogite pozhalujsta vypolnit zadanie v kakih sluchayah terminy i professionali

pomogite pozhalujsta vypolnit zadanie ukazhite sposoby obrazovaniya professiona

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social