Помогите пожалуйста решить интеграл неопределенный . Created by милашечка24. matematika-ru

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома где — действительные числа, a — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:если — целое число, то используется подстановка , где — общий знаменатель дробей и ;если , то используется подстановка , где — знаменатель дроби ;если , то используется подстановка , где — знаменатель дроби ;Для данного интеграла проверим второй случай: , следовательно, сделаем замену: . Тогда и и , если . Имеем:Сделаем обратную замену:Ответ: если

Помогите пожалуйста решить интеграл неопределенный ...

милашечка24 @милашечка24

July 2022 1 1 Report

Помогите пожалуйста решить интеграл неопределенный

Answers & Comments

nikebod313

$\displaystyle \int {\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}} } = \int\limits {x^{-1}(1-x^{2})^{-\bigg{\frac{1}{2} }}} \, dx$

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

$\displaystyle \int x^{m}(a + bx^{n})^{p} \ dx,$

где $a, \ b$ — действительные числа, a $m, \ n, \ p$ — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

если $p$ — целое число, то используется подстановка $t = x^{s}$ , где $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$ ;

если $\dfrac{m + 1}{n}$ , то используется подстановка $a + bx^{n} = t^{s}$ , где $s$ — знаменатель дроби $p$ ;

если $\dfrac{m + 1}{n}+p$ , то используется подстановка $ax^{-n}+b = t^{s}$ , где $s$ — знаменатель дроби $p$ ;

Для данного интеграла проверим второй случай: $\dfrac{-1 + 1}{2} = 0$ , следовательно, сделаем замену: $1 - x^{2} = t^{2}$ . Тогда $t = \sqrt{1 - x^{2}}$ и $x = \sqrt{1 - t^{2}}$ и $dx = -\dfrac{t}{\sqrt{1 - t^{2}} } dt$ , если $x \in [-1; \ 1]$ . Имеем:

$\displaystyle \int {\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}} } = \displaystyle \int {-\dfrac{t}{t\sqrt{1 - t^{2}}} } dt = -\int {\dfrac{dt}{\sqrt{1 - t^{2}}} } = -\arcsin t + C$

Сделаем обратную замену:

$-\arcsin t + C = -\arcsin \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Ответ: $\displaystyle \int {\dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^{2}}} } = -\arcsin \sqrt{1 - x^{2}} + C,$ если $x \in [-1; \ 1].$

2 votes Thanks 1

Answers & Comments

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social