Ответ:

1) Представляем в виде многочлена математическое выражение:

1. (с - 6)² = (с - 6)(с - 6) = с² - 6с - 6с + 36 = с² - 12с + 36;

2. (2а - 3в)² = (2а - 3в)(2а - 3в) = 4а² - 6ав - 6ав + 9в² = 4а² - 12ав + 9в²;

3. (5 - а)(5 + а) = 25 + 5а - 5а - а² = 25 - а²;

4. (7х + 10у)(10у - 7х) = 70ху - 49х² + 100у² - 70ху = 100у² - 49х²;

2) Раскладываем на множители:

1. в² - 49 = в² - 7²;

2. с² - 8с + 16 = (с - 4)(с - 4) = (с - 4)²;

3. 100 - 9х² = 10² - (3х)²;

4. 4а² + 20ав + 25в² = (2а)² + 5в(4а + 5в);

3) Максимально возможно упрощаем выражение:

(х - 2)(х + 2) - (х - 5)² = (х - 2)(х + 2) - (х - 5)(х - 5) = (х² + 2х - 2х - 4) - (х² - 5х - 5х + 25) =

х² - 4 - х² + 10х - 25 = 10х - 29;

4) Решаем уравнение с одним неизвестным:

4(3у + 1)² - 27 = (4у + 9)(4у - 9) + 2(5у + 2)(2у - 7);

4(3у + 1)(3у + 1) - 27 = (4у + 9)(4у - 9) + 2(5у + 2)(2у - 7);

Раскрываем скобки:

4(9у² + 3у + 3у + 1) - 27 = (16у² - 36у + 36у - 81) + 2(10у² - 35у + 4у - 14);

4(9у² + 6у + 1) - 27 = (16у² - 81) + 2(10у² - 31у - 14);

36у² + 24у + 4 - 27 = 16у² - 81 + 20у² - 62у - 28;

Приводим подобные:

36у² + 24у - 23 = 36у² - 62у - 109;

Переносим с противоположным знаком известное в правую часть равенства, неизвестные в левую:

36у² + 24у - 36у² + 62у = 23 - 109;

И снова приводим подобные:

86у = - 86;

Делим обе части равенства на коэффициент при у:

у = - 86 / 86;

у = - 1;

Проверяем:

4(3 х (- 1) + 1)² - 27 = (4 х (- 1) + 9)(4 х (- 1) - 9) + 2(5 х (- 1) + 2)(2 х (- 1) - 7);

4(- 3 + 1)² - 27 = (- 4 + 9)(- 4 - 9) + 2(- 5 + 2)(- 2 - 7);

4 х 4 - 27 = 5 х (- 13) + 2 х (- 3) х (- 9);

16 - 27 = - 65 + 54;

- 11 = - 11.

5) Для того, чтобы представить в виде произведения заданное выражение (4b - 9)2 - (3b + 8)2 нужно использовать формулу сокращенного умножения разность квадратов.

Формула:

a2 - b2 = (a - b)(a + b);

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы этих выражений.

a = 4b - 9;

b = 3b + 8.

Применим формулу и выполним приведение подобных в скобках:

(4b - 9)2 - (3b + 8)2 = (4b - 9 - (3b + 8))(4b - 9 + 3b + 8) = (4b - 9 - 3b - 8)(4b + 3b - 9 + 8) = (b - 17)(7b - 1).

Ответ: (b - 17)(7b - 1).

6)  (3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 - первые две скобки свернем по формуле разности квадратов двух выражений (a - b)(a + b) = a^2 - b^2, где a = 3, b = b;

(9 - b^2)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 - первые две скобки свернем по формуле разности квадратов, где а = 9, b = b^2; последнюю скобку раскроем по формуле квадрата суммы двух выражений (a + b)^2, где a = 4, b = b^2;

81 - b^4 + 16 + 8b^2 + b^4 = (-b^4 + b^4) + 8b^2 + (81 + 16) = 8b^2 + 97;

если b = 1/2, то 8b^2 + 97 = 8 * (1/2)^2 + 97 = 8/4 + 97 = 2 + 97 = 99.

Ответ. 8b^2 + 97; 99.

7) Преобразуем выражение х² - 14x + 51, выделив в его составе полный квадрат.

Воспользуемся для этого формулой квадрата разности (a-b)² = a² - 2 * a * b + b².

Представив в исходном выражении число 51 как сумму чисел 49 и 2, получаем:

х² - 14x + 51 = х² - 14x + 49 + 2 = х² - 2 * 7 * x + 7² + 2 = (х - 7)² + 2.

Полученное выражение является суммой квадрата величины х - 2 и положительного числа 2.

Поскольку квадрат любого вещественного числа всегда больше или равен нулю, то сумма квадрата любого числа и некоторого положительного числа всегда больше нуля.

Следовательно, исходное выражение х² - 14x + 51 принимает положительные значения при всех значениях х.