Verified answer

7) Дана функция у = 2х⁴ - х³ + 1.

   Её производная равна: y' = 8x³ - 3x² = x²(8x - 3).

   Приравняем производную нулю: x²(8x - 3) = 0.

   Имеем 2 критические точки: х = 0 и х = (3/8).

   В этих точках касательная имеет угловой коэффициент к = 0.

   Находим значение функции в этих точках.

   х = 0,  у = 1. Уравнение касательной у = 1.

   х = (3/8), у = (2021/2048). Уравнение касательной у = (2021/2048).

8) Дано уравнение у = (х - 2)²*(х + 1).

  Раскроем скобки: у = х³ - 4х² + 4х + х² + 4 = х³ - 3х² + 4.

  Её производная равна: y' = 3x² - 6x.

  В точке касания угловой коэффициент касательной равен                                                                                                                                                                                                                                                производной.

Приравняем производную заданному значению к: 3x² - 6x = 6.

3x² - 6x - 6 = 0.

Сократим на 3: x² - 2x - 2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:  

Ищем дискриминант:

D=(-2)^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√12-(-2))/(2*1)=(√12+2)/2=√12/2+2/2 = (√3 + 1) ≈ 2.732051;

x_2=(-√12-(-2))/(2*1)=(-√12+2)/2=-√12/2+2/2 = (-√3 + 1 ≈ -0.732051.

В этих точках касательная имеет угловой коэффициент к = 6.

   Находим значение функции в этих точках.

   х = (-√3 + 1),  у = 2.

Уравнение касательной у = 2 + 6(х + √3 - 1) = 6х + 6√3 - 4.

   х = (√3 + 1),  у = 2.

Уравнение касательной у = 2 + 6(х - √3 - 1) = 6х - 6√3 - 4.